PROPOSTA DE UM TESTE DE HIPÓTESE PARA A EXISTÊNCIA DE DEPENDÊNCIA ESPACIAL EM DADOS GEOESTATÍSTICOS/Proposal of a hypothesis test for the existence of spatial dependence in geostatistical data

Abstract

The assessment of the significance of spatial dependence is important for the formal inference about the null hypothesis of non-existence of spatial dependence in geostatistics. Through this study, the researchers aimed at developing a significance test for the null hypothesis of lack of spatial dependence, for the best decision about the existence whether or not the dependence on geostatistical data. For the development of the spatial dependence test, they considered the characteristics of models adjusted to the semivariogram; and for the development of the hypothesis test. Firstly, the null hypothesis and a statistics of the test generated from the concept of spatial dependence area obtained in the semivariogram were defined. The test was developed based on simulation of geostatistical phenomena presenting features of pure nugget effect, i.e., phenomena in which the null hypothesis was true. Finally, it was studied the power of the test for different degrees of simulated spatial dependencies.

Headnote

RESUMO

A avaliação da significância da dependência espacial é importante para que se possa realizar urna inferência formal sobre a hipótese nula de não existência de dependência espacial em Geoestatística. Com o presente estudo, objetivou-se construir um teste de significância para a hipótese nula de ausência de dependência espacial, para urna melhor decisão sobre a existência ou não de dependência em dados geoestatísticos. Para a construção do teste de dependência espacial levou-se em consideração as características dos modelos ajustados ao semivariograma e, para a construção do teste de hipótese, inicialmente, foram definidos a hipótese nula e urna estatística de teste gerada a partir do conceito de área de dependência espacial obtida no semivariograma. O teste foi construído com base em simulações de fenômenos geoestatísticos apresentando característica de efeito pepita puro, ou seja, fenômenos em que a hipótese nula foi verdadeira. Por fim, foi estudado o poder do teste para diferentes graus de dependência espacial simulados. O teste apresentou bom poder, sendo que este tendeu a 100% quando aumentou o grau de dependência espacial dos fenômenos geoestatísticos simulados.

Palavras-chave: Estatística Espacial; Variografia; Inferência; Simulação.

ABSTRACT

The assessment of the significance of spatial dependence is important for the formal inference about the null hypothesis of non-existence of spatial dependence in geostatistics. Through this study, we aimed at developing a significance test for the null hypothesis of lack of spatial dependence, for the best decision about the existence whether or not the dependence on geostatistical data. For the development of the spatial dependence test, we considered the characteristics of models adjusted to the semivariogram; and for the development of the hypothesis test, firstly the null hypothesis and a statistics of the test generated from the concept of spatial dependence area obtained in the semivariogram were defined. The test was developed based on simulation of geostatistical phenomena presenting features of pure nugget effect, i.e., phenomena in which the null hypothesis was true. Finally, it was studied the power of the test for different degrees of simulated spatial dependencies. The test showed good power, and this tended to 100% when the degree of spatial dependence of the simulated geostatistical phenomena increased.

Keywords: Spatial Statistics; Variography; Inference; Simulation.

(ProQuest: ... denotes formulae omitted.)

1. INTRODUÇÃO

A variabilidade de qualquer variável espacial avahada em um fenômeno pode ser dividida em dois tipos básicos, a saber, aquela de cunho não-estocástico, frequentemente chamada de tendência, e outra de cunho estocástico, frequentemente denominada de dependência espacial. A Geoestatística considera os dois tipos de variabilidade para explicar a continuidade observada em dados espaciais, reservando a média para modelar a estrutura da tendência, e a covariância, correlação e semivariância, para modelar a estrutura de dependência espacial.

A continuidade geográfica da variável espacial se manifesta pela semelhança de valores da variável em dois pontos vizinhos e valores muito diferentes em pontos distantes, dando o aspecto de ligação entre os pontos (RESENDE, 2007).

Esta continuidade geográfica ocorre pelo fato de existir certa medida de tendência e/ou certo grau de dependência espacial, pois observações próximas são associadas, e essa associação é maior para distâncias menores.

A avaliação da significância da dependência espacial, quando feita, é realizada através de interpretação de algum indicador de dependência espacial, como, por exemplo, a medida do grau de dependência espacial apresentada por Biondi, et al., 1994, ou a razão de dependência dada por Cambardella, et al., 1994.

Também, em alguns casos realiza-se tal avaliação com base na construção de envelopes simulados no semivariograma, como, por exemplo, quando se utiliza o pacote geoR (RIBEIRO JÚNIOR; DIGGLE, 2001) do software R (R DEVELOPMENT CORE TEAM, 2012). Os envelopes simulados são gerados a partir de permutações dos dados observados nas coordenadas do grid amostral. Isto é, mantêm-se inalteradas as coordenadas geográficas, e permutam-se os valores da variável (atributo) observada. O princípio da realização das permutações é tentar quebrar a estrutura de dependência espacial dos dados, gerando uma espécie de dados independentes.

Contudo, apesar dos indicadores de dependência espacial e os envelopes simulados gerarem uma indicação sobre a dependência espacial, não geram, diretamente, uni valor p para interpretação mais objetiva.

Assim, o emprego dos envelopes simulados, ou a utilização de indicadores de dependência espacial, talvez possa não ser suficiente para realizar uma inferência formal sobre a hipótese nula de não existência de dependência espacial em Geoestatística.

Propor um teste de hipótese, para tal avaliação, possibilita a geração de um valor p (probabilidade de significância) que permite uma avaliação objetiva da significância da dependência espacial, e, portanto, uma melhor interpretação e, consequentemente, uma melhor decisão, sobre a existência ou não, de dependência espacial em dados geoestatísticos. Assim, tem-se como objetivo construir um teste de significância para a hipótese nula de ausência de dependência espacial.

2. METODOLOGIA

O desenvolvimento do trabalho é feito utilizando-se da teoria geoestatística e do recurso de simulações estocásticas. Todo o desenvolvimento é realizado no software R (R DEVELOPMENT CORE TEAM, 2012).

Além disso, o trabalho considera semivariogramas de processos estocásticos que atendam a hipótese de estacionariedade de 2a ordem, sem tendência (média constante) e isotrópicos (semivariogramas que não dependem das direções, somente das distâncias).

O semivariograma é a principal ferramenta utilizada para estudar a estmtura de dependência espacial em Geoestatística, sendo um gráfico que relaciona semivariâncias ( ? ) com distâncias ( h ) (SEIDEL; OLIVEIRA, 2013). Mais detalhes sobre o semivariograma e sua construção podem ser vistos em Joumel e Huijbregts (2003), Olea (2006) e Seidel (2013).

O estimador clássico de semivariograma é dado por (Matheron, 1963):

... (1)

em que Z(sf e Z(.v, + h) são valores da variável Z observada nos pontos λ, e si+ h, respectivamente e N (h) é o número de pontos observados para cada distância h . A Figura 1 apresenta um semivariograma amostral qualquer com seus parâmetros.

Com base na Figura 1 é possível perceber que as semivariâncias médias crescem conforme se aumentam as distâncias h . Assim, pode-se inferir que quanto maiores forem as distâncias h entre as observações, menores se tomam as relações entre Z(s + h) e Z (s), ou seja, menor se toma a dependência espacial.

Após a construção do semivariograma é necessário ajustar um modelo teórico que explique o comportamento do semivariograma em termos de modelar a variabilidade observada. Segundo Alves et al. (2011), a ideia de ajustar um modelo teórico aos dados experimentais é sumarizar as relações espaciais nos dados. Para Carvalho, Silveira e Vieira (2002), os modelos matemáticos ajustados permitem visualizar a natureza da variação espacial das variáveis estudadas.

Os modelos mais utilizados são o modelo esférico, o modelo exponencial e o modelo gaussiano. O modelo esférico é dado na forma (SEIDEL, 2013):

... (2)

Já o modelo exponencial é dado por (SEIDEL, 2013):

... (3)

O modelo gaussiano é escrito como (SEIDEL, 2013):

... (4)

em que C0 é o parâmetro efeito pepita, C1 é o parâmetro contribuição, a é o parâmetro alcance, C0+C, é o parâmetro patamar e h é a distância entre pontos. Nos casos de ausência de dependência espacial, ajusta-se o modelo de efeito pepita puro.

A construção do teste de dependência espacial, na forma que é proposto neste trabalho, leva em consideração características dos modelos ajustados ao semivariograma. Assim, o primeiro passo antes da aplicação do teste, é ajustar o modelo adequado ao semivariograma em estudo.

Para a construção do teste de hipótese, inicialmente, são definidos:

i) A hipótese nula de ausência de dependência espacial;

ii) Uma estatística de teste que é gerada a partir do conceito de área de dependência espacial obtida no semivariograma. O teste é construído com base em simulações de fenômenos apresentando característica de efeito pepita puro, ou seja, fenômenos em que a hipótese nula de ausência de dependência espacial é verdadeira.

Por fim, é realizada a avaliação do nível nominal e o estudo do poder do teste para diferentes graus de dependência espacial.

3. RESULTADOS E DISCUSSÃO

A estatística de teste a ser utilizada é a medida denominada de ADE (SEIDEL, 2013). Essa estatística assume seus valores de forma aleatória, caracterizando-se assim, como uma estatística de teste adequada do ponto de vista da inferência estatística.

3.1 Definição da Estatística ADE

E possível definir urna área, que caracteriza a dependência espacial, que é calculada com base na geometría do semivario grama, sendo entendida como a área de dependência espacial.

Entáo, no semivario grama, essa área está entre o patamar e o modelo teórico e entre a origem e o alcance prático. Ela permite interpretar a variabilidade espacial em termos de área, facilitando, dessa forma, por exemplo, a comparaçao de semivario gramas. As representares da área de dependência espacial, para semivario gramas onde é possível ajustar os modelos esférico, exponencial e gaussiano, por exemplo, estáo representadas ñas Figuras 2(a), 2(b) e 2(c), respectivamente.

Com base nas áreas de dependência espacial (Figura 2) é possível construir, por integração, uma estatística que descreve a variabilidade espacial, pois ela é a própria área de dependência espacial. Como essa estatística é a representação geométrica da dependência espacial, optou-se por defini-la como " ADIE'. que é a abreviatura de "Área de Dependência Espacial". Os cálculos completos da estatística ADE, para semivariogramas com ajuste dos modelos esférico, exponencial e gaussiano, podem ser encontrados em Seidel (2013).

A estatística ADE para um semivariograma com ajuste de modelo esférico é dada por:

... (5)

em que C, é a contribuição estimada e â é o alcance estimado.

Para semivariogramas com ajuste de modelo exponencial, a estatística ADE é dada por:

... (6)

E, para um semivariograma com ajuste de modelo gaussiano, a estatística ADE é dada por:

... (7)

É possível observar nas expressões (5) a (7) que cada modelo apresenta uma constante em sua respectiva estatística ADE . Essa constante, inerente a cada modelo, pode ser entendida como um fator de modelo que reflete a força da dependência espacial. A estatística ADE , em sua forma geral, é dada por:

... (8)

em que, FM é o fator do modelo, Cj é a contribuição estimada e à é o alcance estimado.

A estatística ADE é uma variável aleatória, pois é composta por duas componentes aleatórias: a contribuição estimada (Cj) e o alcance estimado (<S). Portanto, a estatística ADE assume valores de forma aleatória (cada amostra gera um valor para a estatística ADE ).

O fator de modelo ( FM ) pode ser entendido como um valor que expressa a força da dependência espacial que o modelo pode atingir. Mais detalhes sobre o fator de modelo ( FM ) podem ser obtidos em Seidel (2013).

3.2 Procedimento do Teste de Dependência Espacial (TDE)

O procedimento do teste de dependência espacial {TDE ) é computacional, baseado em simulações. As hipóteses a serem testadas são as seguintes:

...

As simulações utilizadas para o teste são baseadas na hipótese nula, de não existência de dependência espacial. Ou seja, são simulados semivariogramas de efeito pepita puro, caracterizando independência espacial, com base na representação da Figura 3.

Para proceder ao teste de dependência espacial, é realizada a seguinte sequência:

a) Calcular a estatística ADEcalculada para o teste de dependência espacial, com base no modelo ajustado ao semivariograma observado nos dados em estudo;

b) Simular, sob hipótese nula de independência espacial, n semivariogramas com modelo efeito pepita puro;

Neste artigo utiliza-se η = 99. As simulações dos semivariogramas com modelo efeito pepita puro são realizadas com a função grf do geoR (RIBEIRO JÚNIOR; DIGGLE, 2001).

c) Ajustar o modelo de interesse (esférico, exponencial ou gaussiano) aos n semivariogramas simulados sob hipótese nula;

Para realizar os ajustes, utilizam-se, como valores iniciais, os valores de contribuição, efeito pepita e alcance, gerados pelo ajuste do semivariograma construído a partir dos dados originais em estudo.

Quando o ajuste do modelo ao semivariograma gera valor de alcance maior que o máximo comprimento do vetor de distâncias do semivariograma, atribui-se valor nulo ao alcance. Isto é feito como correção ao ajuste "superestimado", quando ocorre, aumentando a chance de aceitar a hipótese nula, ou seja, priorizando minimizar o Erro Tipo I.

d) Calcular a estatística ADE em cada urna das n simulações;

e) Construir a distribuição da estatística ADE (valor de ADEcalculada + os n valores de ADE das simulações);

f) Calcular mu valor p com base na distribuição da estatística ADE. O valor p é dado pela proporção de valores de ADE que são maiores ou iguais a ADEcalculada.

Um esquema com os passos do procedimento para a realização do teste TDE pode ser observado na Figura 4.

Seguindo o esquema dado na Figura 4, realiza-se o teste e se pode concluir sobre aceitar ou não a hipótese nula ( //,, ), ou seja, concluir sobre a existência ou não de dependência espacial.

3.3 Avaliação do Nível Nominal do Teste TDE

Para realizar o estudo do nível nominal do teste, são simulados dois cenários de independência espacial para cada um dos modelos teóricos esférico, exponencial e gaussiano e mais um cenário sob modelo de efeito pepita puro. Estes cenários são considerados, pois são construídos sob a hipótese nula (de ausência de dependência espacial), isto é, são cenários em que a hipótese nula ( //,, ) é verdadeira. A tabela 1 mostra os cenários a serem simulados.

Os cenários simulados, com o pacote Random Fields (SCHLATHER, 2001), apresentam as seguintes características:

1o) média=0;

2o) patamar=50;

3o) n=169;

4o) grid regular de 100x100 m;

5o) processo estocástico gaussiano

6o) estimador clássico de semivariograma;

Em cada um dos cenários simulados, apresentados na tabela 1, realiza-se o teste 100 vezes (o teste é aplicado repetidamente 100 vezes) (3 cenários x 100 replicações = 300 simulações). Isto é feito para avaliar o nível nominal do teste. Em cada urna das 100 vezes, o valor p é calculado, e o percentual de vezes em que a hipótese nula, de independência espacial, é rejeitada define o nível nominal do teste. O nível de significância adotado é de 5% (nível nominal), ou seja, só é considerada rejeitada a hipótese nula, se o valor p é menor que 0,05. A tabela 2 mostra o resultado do estudo do nível nominal do teste.

A partir da tabela 2 observa-se que a hipótese nula foi aceita em todas as aplicações, com exceção ao cenário 3 para o modelo exponencial. Assim, obteve-se um nível real de 0% frente a um nível nominal de 5% para os modelos esférico e gaussiano. Já, para o modelo exponencial, obteve-se nível nominal menor ou igual a 5%. Esse fato de obter nível real menor que o nominal pode ser devido ao baixo número de repetições, ou ser o verdadeiro comportamento do teste.

3.4 Estudo do Poder do Teste TDE

Para realizar o estudo do poder do teste, são simulados 12 cenários de dependência espacial para cada um dos modelos teóricos esférico, exponencial e gaussiano. Nestes cenários, diferentes valores de contribuição, efeito pepita e alcance são atribuídos. Estes cenários são considerados, pois são construídos sob a hipótese alternativa (de existência de dependência espacial), isto é, são cenários em que a hipótese alternativa (77, ) é verdadeira. A tabela 3 mostra os cenários a serem simulados.

Os cenários simulados, com o pacote Random Fields (SCHLATHER, 2001), apresentam as seguintes características:

Io) média=0;

2o) patamar=50;

3o) n=169;

4o) grid regular de 100x100 m;

5o) processo estocástico gaussiano

6o) estimador clássico de semivariograma;

Em cada um dos cenários simulados, apresentados na tabela 3, realiza-se o teste 100 vezes (o teste é aplicado repetidamente 100 vezes) (12 cenários x 100 replicações = 1200 simulações). Isto é feito para avaliar o poder do teste. Em cada urna das 100 vezes, o valor p é calculado, e o percentual de vezes em que a hipótese nula, de independência espacial, é corretamente rejeitada define o poder do teste. O nível de significância adotado é de 5% (nível nominal), ou seja, só é considerada rejeitada a hipótese nula, se o valor p é menor que 0,05. A Figura 5 apresenta o resultado do estudo do poder do teste em relação aos cenários simulados.

Com base na Figura 5 pode-se observar que o poder cresce rapidamente para menores valores de DE(%) e se aproxima de 100% para maiores valores de DE(%), conforme os cenários simulados. Ou seja, para os cenários com baixa dependência espacial o poder do teste é menor, e para aqueles cenários com maior grau de dependência, o poder do teste é maior.

O teste proposto aqui vem a ser um complemento à avaliação da dependência espacial, sendo que pode ser utilizado conjuntamente com outros métodos já existentes, como, por exemplo, envelopes simulados e indicadores de dependência espacial.

4. CONCLUSÃO

A partir do conceito de áreas de dependência espacial foi possível construir urna nova estatística de dependência espacial, denominada de ADE, utilizada para o teste de hipótese de dependência espacial.

O teste construído, denominado de TDE, utiliza o princípio de simulação, sob hipótese nula de independência espacial, gerado a partir de dados sob comportamento de efeito pepita puro (modelo de efeito pepita puro).

O teste teve bom poder, sendo que este tende a 100% quando aumenta a dependência espacial do fenômeno em estudo.

Para futuros estudos necessita-se ampliar o número de cenários, o número de simulações e ampliar os estudos do nível nominal e do poder para se atingir urna melhor avaliação do teste.

AGRADECIMENTOS

À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo apoio financeiro em forma de bolsa.

References

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(Recebido em maio de 2014. Aceito em junho de 2014).