球幕点目标投影跟踪系统的精确标定方法

1 引言

武器装备目标识别和跟踪的精确性和稳定性是目前武器智能研究中的一项重要任务^[1]，球幕点目标投影跟踪系统就是一种用于检验武器装备目标识别系统性能的半实物仿真系统，采用一个目标模拟投射装置来模拟已知航迹的动态目标的运动，给需要验证性能的装备提供一个测量目标，这样就可以完全在实验室条件下进行实验，完成对目标识别系统探测、跟踪目标能力的检测和验证^[2]。同时球幕可以展示视场较大，纵横感强的空、地背景图案^[3-4]，以增强仿真的真实性。准确建立目标投射装置与目标识别系统之间的数据转换关系是保障球幕点目标投影跟踪系统工作性能的基本环节。

以球幕系统作为世界坐标系，建立目标点在子系统与球幕系统之间的坐标转换关系，从而可以得到子系统之间的数据转换关系，但是需要提前对子系统与球幕之间的相对位置关系进行标定。一般情况下都是手动测量或者默认子系统与球幕之间的安装位置数据和设计方案一致^[5]，但是由于现场安装过程中存在误差，子系统与球幕的相对位置关系并不能与预期设定的完全一样，且球幕球心是一个虚拟点，手动测量有较大的误差。

探测球心位置常用标靶定位的思想，文献[6]提出建立高斯—马尔科夫(Gauss–Markov, G-M)模型，用最小二乘法(least squares, LS)拟合球面点云，得到球体的位置数据。文献[7]提出总体最小二乘法(total least squares, TLS)，能同时顾及观测向量和系数矩阵的误差。文献[8-10]等考虑系数矩阵和观测向量的协因数阵，从不同角度给出了定权矩阵的方法，但是这些研究都是针对一次可以获取大量的点云，且数据测量精度较高的成熟测量系统，如三维激光扫描机等，只是分析了测量值的偶然误差，没有考虑标定方案对标定结果的影响，所提出的优化不适用于获取点难度大、数量较少且精度有限的现场标定。

本文为了解决球幕点目标投影跟踪系统的现场精确标定问题，建立了球心标定的G-M模型，通过仿真分析影响球幕标定精度的主要因素，提出一种简便、快速、精确的标定方法。并且设计专门的标定器和模拟球幕进行实验，验证了所提标定方法的可行性。

2 标定原理

球幕点目标投影跟踪系统是一种计算机辅助仿真系统，包含有激光束目标投射系统、命中效果实时投影系统、被试件探测系统等多个子系统，结构示意图如图 1所示。

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投射系统在球幕上投射指定的航迹目标，位于球幕前的被测系统探测球幕上的目标点并将数据传输给主控计算机，同时计算机控制实时投影系统在球幕上二次投射出仿真目标，从而对被测系统的目标自动跟踪性能进行测试。在测试过程中，子系统测量的数据是在各自系统的空间位置下得到的，需要频繁的坐标转换来控制系统和给出性能参数评测，利用球幕系统作为世界坐标系，可以将复杂系统的问题转化为各子系统与球幕坐标系的转换。所以，各子系统与球幕之间的位置标定方法的可靠性直接决定了球幕点目标投影跟踪系统的测量精度。

由于子系统都可以在球幕上直接投射或者探测目标点，建立单一标定子系统与球幕模型示意图，如图 2所示。标定子系统在球幕上投射标定的目标点，标定点对应的俯仰角α和方位角β由二维转台装置控制，距离值ρ值由激光测距仪测得。

[Image omitted: See PDF]

那么投射的标定点在标定子系统下的坐标为(ρ, α, β)，转化成对应的直角坐标(x, y, z)为

\( \left\{ \begin{array}{l} x = \rho \cos \alpha \cos \beta \\ y = \rho \cos \alpha \sin \beta \\ z = \rho \sin \alpha \end{array} \right.。\)(1)

设球幕球心O在标定系统坐标系下的坐标为(c₁, c₂, c₃)，球幕半径为R，则空间球面方程为

\({(x - {c_1})^2} + {(y - {c_2})^2} + {(z - {c_3})^2} = {R^2},\)(2)

整理得：

\( 2x{c_1} + 2y{c_2} + 2z{c_3} + ({R^2} - {c_1}^2 - {c_2}^2 - {c_3}^2)\\ \quad \quad = {x^2} + {y^2} + {z^2}。\)(3)

球幕半径可以是已知参数，也可以是未知参数，当半径已知时，最少三个方程可以求解；当半径未知时，则至少四个方程可以求解。本文将球幕半径作为未知参数求解，这样无需提前测量半径，可以直接通过标定获得，也满足现场使用的情况。

同样的方法可以得到球幕上 \(n\) 个标定点相对于标定系统的坐标值，标定点坐标与球心坐标的关系写成G-M模型为

\(\mathit{\boldsymbol{AX = B}},\)(4)

其中：

\({\mathit{\boldsymbol{A}}_{n \times m}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{x_1}}&{2{y_1}}&{2{z_1}}&1 \\ {2{x_2}}&{2{y_2}}&{2{z_2}}&1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ {2{x_n}}&{2{y_n}}&{2{z_n}}&1 \end{array}} \right],\) \({\mathit{\boldsymbol{B}}_{n \times 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \\ {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} \\ \vdots \\ {x_n^2 + y_n^2 + z_n^2} \end{array}} \right],\) \({\mathit{\boldsymbol{{X}}}_{m \times 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_1}} \\ {{c_2}} \\ {{c_3}} \\ {{R^2} - {c_1}^2 - {c_2}^2 - {c_3}^2} \end{array}} \right],\)(5)

式中： \(n \geqslant 4\) ， \(m = 4\) 。根据近代平差理论^[10]，考虑到系数矩阵A和测量矩阵B均含有误差的情况，建立TLS求解模型为

\(\left\{ \begin{array}{l} (\mathit{\boldsymbol{{A}}} + {\mathit{\boldsymbol{E}}_\mathit{\boldsymbol{A}}})\mathit{\boldsymbol{X}} = \mathit{\boldsymbol{B}} + \mathit{\boldsymbol{e}} \hfill \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \mathit{\boldsymbol{e}} \\ {{\mathit{\boldsymbol{e}}_\mathit{\boldsymbol{A}}}} \end{array}} \right] = \left[ \begin{gathered} \;\;\;\mathit{\boldsymbol{e}} \hfill \\ {\rm{vec}}{\mathit{\boldsymbol{E}}_\mathit{\boldsymbol{A}}} \hfill \\ \end{gathered} \right] \sim \left( {\left[ \begin{gathered} 0 \hfill \\ 0 \hfill \\ \end{gathered} \right],\;\delta _0^2\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{I}}_n}}&0 \\ 0&{{\mathit{\boldsymbol{I}}_m} \otimes {\mathit{\boldsymbol{I}}_n}} \end{array}} \right]} \right) \hfill \\ \end{array} \right.,\)(6)

其中： \({\mathit{\boldsymbol{E}}_\mathit{\boldsymbol{A}}}\) 代表系数矩阵A中的误差矩阵， \({\rm{vec}}{\mathit{\boldsymbol{E}}_\mathit{\boldsymbol{A}}}\) 为 \({\mathit{\boldsymbol{E}}_\mathit{\boldsymbol{A}}}\) 的拉直向量，e是观测向量B中的误差， \(\delta _0^2\) 为单位权方差，“ \( \otimes \) ”为“kronecker积”( \(\mathit{\boldsymbol{M}} \otimes \mathit{\boldsymbol{N}} = [{m_{ij}}\mathit{\boldsymbol{N}}]\) ， \(\mathit{\boldsymbol{M}} = [{m_{ij}}]\) ^[11])，TLS的估计准则为

\({\mathit{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{e}} + {({\rm{vec}}{\mathit{\boldsymbol{E}}_\mathit{\boldsymbol{A}}})^{\rm{T}}}{\rm{vec}}{\mathit{\boldsymbol{E}}_\mathit{\boldsymbol{A}}} = \min 。\)(7)

将TLS采用奇异值分解(singular value decomposition, SVD)法求解^[7]，就可以得到球幕球心的坐标 \(({c_1},{c_2},{c_3})\) 和半径 \(R\) ，即完成标定系统与球幕之间相对位置的标定。

3 标定法仿真分析

系统的标定过程可以利用MATLAB仿真软件来模拟，球幕半径一般为10000 mm~15000 mm，因此仿真分析过程在半径为10000 mm球幕下进行，方位角范围为 \(\left[ {\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2},\;\frac{{3{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{2}} \right]\) ，俯仰角范围为 \(\left[ {0,\;\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}} \right]\) 。对式(1)求全微分，得：

\(\left\{ \begin{array}{l} dx &= \frac{{\partial x}}{{\partial \rho }}d\rho + \frac{{\partial x}}{{\partial \alpha }}d\alpha + \frac{{\partial x}}{{\partial \beta }}d\beta \hfill \\ &= (\cos \alpha \cos \beta )d\rho - \rho...