分数傅里叶变换理论及其应用研究进展

1 引言

有关分数傅里叶变换的研究最早始于20世纪20年代Wiener^[1]的工作。之后很长一段时间内都鲜有学者关注该领域, 直至1980年, Namias^[2]才从算子的角度给出了分数傅里叶变换的定义。基于Namias的工作, McBRIDE^[3]于1987年修改了Namias的分数傅里叶算子, 并分析了修正后的算子所具有的一些性质, 使分数傅里叶变换的理论更加明确。Mendlovic和Ozaktas^[4-5]于1993年给出了分数傅里叶变换的光学实现方法。随后, 分数傅里叶变换迅速成为光学领域的研究热点^[6]。Almeida^[7]于1994年将分数傅里叶变换解释为时频平面的旋转, 同时指出, 正如傅里叶变换的实质是将信号表示为正弦信号的叠加, 分数傅里叶变换的实质则是将信号表示为Chirp信号的叠加。Almeida的这一研究成果极大促进了分数傅里叶变换在信号处理领域的发展。Ozaktas^[8]于1994年分析了分数傅里叶变换与Chirp变换和小波变换之间的关系, 并提出了分数域滤波的概念。Zayed^[9]于1996年发现, 利用简单的变量替换可以将分数傅里叶变换转化为傅里叶变换, 并从该角度证明了分数傅里叶变换所满足的一些性质和定理。Cariolaro^[10]于1998年提出了分数傅里叶变换的统一框架, 并给出了针对各种类型信号的分数傅里叶变换的定义。2000年之后, 与分数傅里叶变换相关的理论研究有了突飞猛进的发展, 主要研究成果集中在数值计算、采样、滤波与参数估计、多域分析等领域。其中, 高效准确的数值计算方法和采样理论为分数域数字信号处理提供了可能; 分数域滤波与参数估计则是分数傅里叶变换在工程实践中得以应用的核心和基础; 分数域介于时域和频域之间, 因此可以对信号在多个分数域进行分析, 为信号处理提供了多个视角。与此同时, 分数傅里叶变换也被广泛应用于工程实践, 包括雷达、通信、图像加密、光学干涉测量、医疗、生物及机械仪器等。

虽然近年来已有若干与分数傅里叶变换相关的综述类文献[11-15], 但这些文献往往侧重于介绍分数傅里叶变换的数值计算方法以及分数傅里叶变换的应用等内容^[12-14]。文献[11]虽然对采样、滤波与参数估计等问题有所涉及, 但随着研究的深入, 许多新的研究成果涌现出来。除此之外, 多域分析逐渐成为分数域信号处理的一个重要研究方向。随着理论研究的不断完善, 分数傅里叶变换在工程实践中的应用得以推进, 除了经典的雷达、通信、图像、光学等领域, 分数傅里叶变换在医疗、生物和工业领域也显现出了很大的价值。本文的目的是对分数傅里叶变换理论及其应用研究成果做一个比较全面的介绍, 其内容安排如下:第二部分介绍分数傅里叶变换的定义及性质; 第三部分介绍分数傅里叶变换的数值计算方法; 第四部分介绍由离散分数傅里叶变换衍生出来的各种离散分数变换; 第五部分介绍与分数傅里叶变换相关的采样理论; 第六部分介绍分数域滤波与参数估计理论; 第七部分介绍多域分析理论; 第八部分介绍分数傅里叶变换在雷达、通信、图像加密、光学干涉测量、医疗以及机械仪器领域的应用; 第九部分为结论与展望。

2 定义及性质 2.1 分数傅里叶变换的定义

分数傅里叶变换可以从不同的角度来定义, 并且各个定义之间是等价的^[16]。每种定义方式都有其独特的物理内涵, 可以根据实际应用选择特定的定义。目前最常用的定义是Ozaktas^[17]从积分变换角度给出的定义和Namias^[2]从特征分解角度给出的定义, 下面介绍这两种定义。

定义1一维信号x(t)的p阶分数傅里叶变换从积分变换角度的定义为^[17]

\( {X_p}(u) = {F^p}[x](u) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x(t){K_p}{\rm{(}}t, u){\rm{d}}t} , \)(1)

其中F^p是分数傅里叶变换算子, 核函数K_p(t, u)的表达式为

\( {K_p}(t, u) = \left\{ \begin{array}{l} {A_\alpha }{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{{\rm{i(}}{t^2}\cot \alpha /2 - ut\csc \alpha + {u^2}\cot \alpha /2)}}, {\rm{ }}\alpha \ne n{\rm{ \mathsf{ π} }}\\ {\rm{ \mathsf{ δ} }}(t - u){\rm{, }}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\alpha = 2n{\rm{ \mathsf{ π} }}\\ {\rm{ \mathsf{ δ} }}(t + u){\rm{, }}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\alpha = (2n \pm 1){\rm{ \mathsf{ π} }} \end{array} \right., \)(2)

其中 \({A_\alpha } = \sqrt {(1 - {\rm{i}}\cot \alpha )/2{\rm{ \mathsf{ π} }}} \) , \(\alpha = p{\rm{ \mathsf{ π} }}/2\) 代表时频平面的旋转角度。式(1)既可称作是信号x(t)的p阶分数傅里叶变换, 也可称作是信号x(t)在α角度下的分数傅里叶变换。因此, 分数傅里叶变换算子和核函数也可分别记做F^α和K_α(t, u)。可以看出, 分数傅里叶变换的分解基函数由单频正弦信号拓展为线性调频信号。线性调频信号在时域、频域及分数域表征如图 1所示。

[Image omitted: See PDF]

接下来介绍从特征分解角度给出的定义。首先, 连续傅里叶变换对应的特征方程为

\( F\left[ {{\varphi _n}(t)} \right] = \exp \left( { - {\rm{i}}\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}n} \right){\varphi _n}(t), {\rm{ }}n = 0, 1, 2, ..., \)(3)

其中: \(F\) 是傅里叶变换算子, \({\lambda _n} = \exp ( - {\rm{i}}{\kern 1pt} n{\rm{ \mathsf{ π} }}/2)\) 是傅里叶变换的特征值, \(\left\{ {{\varphi _n}(t), n = 0, 1, 2, ...} \right\}\) 是归一化的Hermite-Gaussian函数, 同时也构成了傅里叶变换的一组完备正交基^[6]。1980年, Namias^[2]将傅里叶变换的特征值推广为分数阶次, 定义分数傅里叶变换的特征值为 \({\lambda _n} = \exp ( - {\rm{i}}pn{\rm{ \mathsf{ π} }}/2)\) , 分数傅里叶变换的特征函数为傅里叶变换的特征函数, 从而得到了连续分数傅里叶变换对应的特征方程:

\( {F^p}\left[ {{\varphi _n}(t)} \right] = \exp \left( { - {\rm{i}}\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}pn} \right){\varphi _n}(t), {\rm{ }}n = 0, 1, 2, ...。\)(4)

进一步, 可得到分数傅里叶变换的核函数K_p(t, u)的谱展开式:

\( {K_p}(t, u) = \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\exp \left( { - {\rm{i}}\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}np} \right){\varphi _n}(t)} {\varphi _n}(u)。\)(5)

基于上述讨论, 可以从特征分解的角度给出分数傅里叶变换的定义:

定义2一维信号x(t)的p阶分数傅里叶变换从特征分解角度的定义为^{[2, 16]}

\( {X_p}(u){\rm{ = }}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {x(t)\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\exp \left( {...