全视场外差白光干涉测量技术

1 引言

白光干涉测量技术是现阶段测量精度较高的一种测量技术，基于对白光自身的干涉特性和多种数据处理方法的研究表明，白光干涉测量能实现对实际距离的精准测量，并且已达到纳米级的测量精度以及毫米级的测量范围，因此得到了广泛的应用^[1-2]。白光干涉测量精度与其使用的相干峰寻址算法的计算精度息息相关，希望通过算法能有效地提高测量精度、滤除测量噪声和提高测量效率等多种问题^[3]。例如Baryshev等^[4]希望通过希尔伯特变换算法实现白光干涉信号包络曲线的检测和噪声影响的分析，这是一种典型的通过算法减小噪声影响提高计算精度的方法。另外，高精度的白光干涉测量还依赖于高精度的线性位移机构和测量环境，为了规避这一严苛条件，近年来提出了很多优化方法。例如肖青等^[5]提出了一种提高光学干涉系统稳定性的装置，通过提高干涉系统的抗干扰性从而提高干涉测量精度。张佳莹等^[6]通过引入高速旋转的毛玻璃提高干涉信号的信噪比，进而提高干涉测量精度。国内外的学者大都从提高系统的稳定性和信噪比方面提高干涉测量精度，针对干涉原理上的创新较为少见。

为了扩大干涉测量的研究方向进而扩大在干涉测量中可使用技术的范围，提高干涉测量的多样性和可能性，日本学者Akiko和Hirokazu^[7-8]提出了白光外差干涉测量技术，结合白光干涉测量和外差干涉测量实现了较高检测精度，使用相位探测器采集信号存在着成本高、适用范围窄、探测效率低以及核心算法较复杂等问题。随着声光移频技术的提高，具有更高稳定性和抗干扰性的外差干涉测量迅速发展^[9-10]，本文研究了一种适用于高精度面形测量的全视场外差白光干涉测量技术，该技术将外差干涉测量技术与白光干涉测量技术相结合，通过连续的时域信号计算，降低干涉信号的随机误差。系统利用较大的纵向扫描步长与较低的扫描精度即可实现高精度的白光相干函数峰值检测，从而获得高精度的目标表面面形。

2 基本原理 2.1 白光外差干涉测量原理

白光干涉的本质是激光干涉的叠加，两路相同频率的激光重合时会产生长相干干涉现象，把这两束激光称为“激光对”。白光干涉是无数不同频率“激光对”的干涉相互叠加，由于干涉条纹宽度与激光的频率相关，因此不同频率“激光对”的干涉光强的波峰位置处处不同，随着光程差的逐渐增加干涉光强被均匀化，无数干涉光光强相互叠加时干涉光强对比度为零。只有在参考光与测试光光程差为零时，无数条激光干涉的波峰在同一处重合，因此白光干涉在零光程差处(零级条纹)光强最大，并随着光程差增大干涉信号的对比度逐渐降低。白光外差干涉测量是在白光干涉的基础上引入外差干涉的新的测量方式，外差干涉是两束不同的频率激光相互干涉，信号强度随时间变化，白光干涉测量具有白光干涉和外差干涉两种干涉的特性，本质上是无数个不同频率的外差干涉“激光对”相互叠加，光强信号受到时间和空间位置的共同影响。

2.1.1 白光干涉信号

白光干涉信号的一般形式写为^[11]

\( I(z)=I_{\mathrm{bg}}\left[1+g(z-h) \gamma \cos \left(\alpha-\alpha_{\mathrm{add}}\right)\right], \)(1)

式中： \( \alpha=\left(4 \pi / \lambda_{0}\right) \cdot(z-h)\) ，z为相干长度内发生干涉的位置，h为待测点的高度信息，参考光路和测量光路的光强分别用I₁和I₂表示， \(I_{\mathrm{bg}}=I_{1}+I_{2} \) 为干涉信号的背景光强， \(g(z - h) = \exp \left\{ { - {{\left[ {(z - h)\left( {2\pi /{l_{\rm{c}}}} \right)} \right]}^2}} \right\} \) 为白光干涉光强的高斯包络函数，l_c为相干长度，λ₀为中心波长， \(\gamma=2 \sqrt{I_{1} I_{2}} /\left(I_{1}+I_{2}\right) \) 为干涉条纹的可见度， \( {{\alpha _{{\rm{add}}}}}\) 为测量过程中引入的附加相位，可见白光干涉信号在高斯分布下服从正弦调制。白光干涉信号的正弦调制周期很小，当采样点较少时干涉条纹会出现失真现象，必须满足每个波动周期内采集至少3个点才能视为有效信号，这就要求白光干涉测量系统配备很高精度的位移机构，很大程度上限制了白光干涉测量的普遍适用性。

单色光外差干涉光强随着时间的变化光强呈正弦趋势变化，将外差信号引入到白光干涉信号后白光外差干涉信号受到光程差和时间的共同调制，相当于白光干涉信号在时域上又受到了时间的正弦调制，即：

\( I(z, t) = {I_{{\rm{bg}}}}\left[ {1 + g(z - h)\gamma \cos \left( {\alpha + 2\pi \omega t - {\alpha _{{\rm{add}}}}} \right)} \right], \)(2)

其中ω为两束信号的差频频率。光强变化示意图如图 1所示。在某一特定空间位置的光强随着时间作正弦变化，在不同空间位置的振幅也在变化，因此传统白光干涉测量算法并不适用。

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把光强投影到空间上如图 1中黑色线段，虽然白光外差干涉信号在时间和空间上不断变化，但是在光程差发生改变时白光外差干涉信号的振幅在零光程差附近呈高斯分布，如图中红色曲线所示。再根据高斯曲线的特性探索白光外差干涉测量的算法。

2.1.2 相干峰寻址法

传统白光干涉测量大都采用相干峰寻址法，沿光传播方向移动标准面或者待测面来改变光程差，并在每移动一个步长后采集一个数据。白光外差干涉测量的采集方式与其类似，不同的是在每移动一个步长后采集一组时域上连续的数据，通过四步相移法求解出单个空间位置处的连续外差信号的振幅，按照原始扫描坐标排列，得到的光强振幅呈高斯分布，对该数据曲线高斯拟合，求得的极值点处的横坐标就是该点的对应高度。如图 2(a)所示，扫描过程中振幅包络会在不同高度的点上各自出现一次相干峰峰值点，以峰值点的Z轴坐标为参照，两个峰值点的差值就是两采样点的高度差，如图 2(b)所示。在待测面上选定一个基准点，求得待测面上的所有采集信号与基准点的高度差就可以计算出待测面型。

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高斯曲线不同于白光干涉测量信号的曲线，在采样点相对较少时也能保证信号周期的完整性，同时具有较高的测量精度，大大降低了对高精度位移机构的依赖，提高了白光干涉测量技术的适用性，比直接对白光干涉的光强曲线拟合具有更高的拟合精度。

2.1.3 系统方案

全视场外差白光干涉测量可以通过图 3所示的方案实现，白光光源被分光棱镜(BS)分光后经不同程度移频，再被平面镜和角锥棱镜反射后被BS合束，构成了两束中心频率有一定频差的白光光源，压电陶瓷(PZT)推动一路角锥线性移动完成扫描测量。为了实现较大口径的光学面型测量，干涉结构选取斐索干涉测量光路，如图所示，光源经由光纤自由发散出射，准直后被标准球面镜，可用于测量待测面，待测镜反射后被分光镜分为两路，分别到达探测器1和探测器2，探测器1用于监视调整，探测器2用于数据采集。

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根据上述测量系统提出适用于白光外差干涉测量的处理算法，由于在测量过程中通过光源部分的调整就可以完成白光干涉测量的扫描，因此在测量球面面型时不受焦距偏离的影响，可以实现复杂曲面的测量。

2.2 白光外差干涉测量算法

白光外差干涉测量解算方法分为两个步骤，第一步：处理每一组的外差时域信号，获得该位置处的光强振幅信息，按空间位置对应排列后得到光强振幅信号曲线; 第二步：对得到的光强振幅信号曲线高斯拟合，得到峰值处对应的横坐标，求解两点的高度差。

2.2.1 四步相移法求包络函数曲线

式(2)中当两束光平行时，令α_add=0，且当两参考面与待测面相对位置不变的情况下，只考虑时间因素引起的变化时：

\( I(z, t)=I(t)=I_{\mathrm{bg}}\left[1+g\left(z_{i}-h\right) \gamma \cos (\varphi-\theta)\right], \)(3)

其中：θ为时间变化时引起的变化量，φ为空间相位和附加相位的引起的相位和。

当 \( \theta=\pi / 2\) 时，取外差信号上连续的四个点，得到：

\( \left\{\begin{array}{l} I_{1}=I_{\mathrm{bg}}+I_{\mathrm{bg}} g\left(z_{i}-h\right) \gamma \cos (\varphi-\pi / 2) \\ I_{2}=I_{\mathrm{bg}}+I_{\mathrm{bg}} g\left(z_{i}-h\right) \gamma \cos (\varphi) \\ I_{3}=I_{\mathrm{bg}}+I_{\mathrm{bg}} g\left(z_{i}-h\right) \gamma \cos (\varphi+\pi / 2) \\ I_{4}=I_{\mathrm{bg}}+I_{\mathrm{bg}} g\left(z_{i}-h\right) \gamma \cos (\varphi+\pi) \end{array}\right.。\)(4)

设交流光强信号的幅值为 \(I_{\mathrm{E}}=I_{\mathrm{bg}} g\left(z_{i}-h\right) \gamma \) ，通过上式可以获得四步相移求解相干函数振幅的公式：

\( I_{\mathrm{E}}=\sqrt{\left(I_{1}-I_{3}\right)^{2}+\left(I_{2}-I_{4}\right)^{2}} / 2。\)(5) 2.2.2 高斯拟合法求相干函数峰值坐标

高斯拟合法建立在非线性最小二乘拟合的基础上，已知白光外差干涉的光强包络符合高斯分布：

\( y(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right), \)(6)

其中：均值μ和标准差σ为未知数，假设采集到的数据是 \( \left(x_{1}, y_{1}\right), \left(x_{2}, y_{2}\right), \ldots\left(x_{n}, y_{n}\right)\) 。先将数据的横坐标 \( {x_i}\) 分别带入函数y中得到 \(y_1^\prime , \quad y_2^\prime , \ldots y_n^\prime \) 。再对 \( y_{i}, \quad y_{i}^{\prime}\) 作差后求平方得到 \( \Delta y_i^2\) ，将所有的 \( \Delta y_i^2\) 求和得到Δy，分别对均值μ和标准差σ求偏导，求得Δy最小时的均值μ和标准差σ带入y得到函数曲线。此时均值μ就是峰值点对应的横坐标。再通过相干峰寻址法可得待测面型。

2.2.3 数据仿真结果

为了验证算法的可行性，使用Matlab仿真建立了一个22×20的矩阵台阶，台阶高度为5 μm。仿真光源中心波长为633 nm，相干长度为5 μm，双频光源的频率差为10 Hz。仿真探测器采样帧频为160 f/s，使用白光外差干涉测量算法对其处理过程如下，其中扫描总长度为15 μm，扫描步长为50 nm。在台阶不同高度两个面上的高斯包络曲线和拟合曲线如图 4所示。

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图 5(a)为仿真台阶模型，高度为5 μm的22 pixels×20 pixels矩阵三维模型; 图 5(b)为通过该算法处理得到的复原台阶模型，验证了该算法具有很高的计算精度。完全理想的情况下白光外差干涉测量算法具有很高的计算精度，下面针对该算法的特性进行分析。