Doğrusal Olmayan Programlama ve Bilgisayar uygulaması

Abstract

Kantitatif Karar Tekniklerinin (Yöneylem Araştırması) en önemli konulanndan birisi de doğrusal olmayan (Nonlineer) programlamadır. Doğrusal olmayan programlama probleminin çözümü için birçok teknik geliştirilmiştir. Her tekniğin ele alınan problemin yapısına göre üstünlükleri vardır. Çözüme yakınsamadaki başan -ki burada hız da önemlidir- tekniklerin üstünlükleri ile orantılıdır. Bilgisayar teknolojisinin gelişmesine paralel olarak doğrusal olmayan programlama problemlerini çözmek için geliştirilen tekniklerde ilerleme sağlanmıştır. Çünkü bu çalışmanın birinci bölümünde anlatılan analitik çözüm yöntemleri büyük boyutlu doğrusal olmayan programlama problemlerinde etkisiz kalırlar ve bu nedenle bu çalışmanın ikinci bölümünde anlatılan algoritınik çözüm yöntemlerine ihtiyaç vardır ve bu yöntemlerde kesinlikle bilgisayar kullanmayı gerektiren yöntemlerdir. Fakat şimdiye kadar geliştirilen tekniklerin hiçbiri doğrusal olmayan programlama problemini etkin bir biçimde çözememektedir.

Biz bu çalışmamızda doğrusal olmayan programlamanın kapsamına giren konulan ve teknikleri belirli bir düzen içersinde inceleyerek bu teknikler le ilgili çözüm yöntemlerine ait uygulamalar yapmaya çalıştık.

Buna göre çalışmamız genel olarak dört bölümde incelenmektedir.

Birinci bölümde doğrusal olmayan programlama problemlerine temel teşkil eden matematiksel kavramlar incelenmiştir. Kısıtsız ve kısıtlı çok değişkenli optimizasyon problemlerinde optimum çözüm noktasının sağlaması gereken gerek ve yeter şartlar verilmiştir.

İkinci bölüm analitik çözüm yöntemlerine aynlıruştır.

Kısıtlann eşitlik ve eşitsizlik şeklinde ve değişkenlerin işaretçe serbest olması durumunda optimizasyon problemlerine çözüm arayan yöntemler bu bölümde analitik olarak incelenmiştir. Bu amaçla Yerine Koyma Yöntemi, Lagrange Çarpanları Yöntemi ve Kulın-Tueker Koşulları incelenen başlıca ve önemli yöntemlerdir.

Üçüncü bölümde doğrusal olmayan programlama problemlerinin çözümü için algoritmik çözüm yöntemleri incelenmiştir. İlk önce doğrusal olmayan denklem sistemleri gözönüne alınarak bu sistemlerin çözümü için Basit iterasyon , Newton- Raphson ve Dik İniş yöntemleri kullanılarak çözümler örneklerle açıklanmıştır.

Yine doğrusal olmayan programlama problemlerinin optimizasyonu için Düzlemsel Kesme Yöntemi , Aynştınlabilen Programlama ve Dik İniş Yöntem'i açıklanmıştır.

Dördüncü bölüm ise son zamanlarda önemi gittikçe artan Geometrik Programlamaya aynlmıştır.

Geometrik Programlama adını aritmetik ortalama-geometrik ortalama eşitsizliğinden almıştır. Doğrusal olmayan programlama problemini aritmetikgeometrik ortalama eşitsizliğini kullanarak bir doğrusal denklem sistemine dönüştürerek optimizasyon problemine çözüm arayarak ve bu özelliği gereğince diğer programlama tekniklerinden aynlan bir programlama tekniğidir. Geometrik Programlama; Pozinomial ve Signomial geometrik programlama olmak üzere iki programlama tipine aynlır ve teorisi oldukça geniştir. Biz bu bölümde sadece Pozinomial geometrik programlamayı inceleyeceğiz.

Alternate abstract:

One of the most important subjects of Quantitative Decision Techniques (Operation Research) is nonlinear programming. Many techniques have been developed to solve the nonlinear programming problem. Each technique has advantages according to the nature of the problem under consideration. The success in converging to the solution, where speed is also important, is proportional to the superiority of the techniques. In parallel with the development of computer technology, progress has been made in the techniques developed to solve nonlinear programming problems. Because the analytical solution methods described in the first part of this study are ineffective in large-scale nonlinear programming problems, therefore there is a need for the algorithmic solution methods described in the second part of this study, and these methods definitely require the use of computers. However, none of the techniques developed so far can effectively solve the nonlinear programming problem.

In this study, we have tried to make applications of solution methods related to these techniques by examining the subjects and techniques within the scope of nonlinear programming in a certain order. Accordingly, our study is generally examined in four parts. In the first chapter, mathematical concepts that form the basis of nonlinear programming problems are examined. Necessary and sufficient conditions for the optimum solution point in unconstrained and constrained multivariate optimization problems are given. The second part is devoted to analytical solution methods. In this section, the methods that seek solutions to optimization problems in the case of constraints in the form of equality and inequality and the variables being pointer free are analyzed analytically. For this purpose, Substitution Method, Lagrange Multiplier Method and Kulin-Tueker Conditions are the main and important methods studied. In the third chapter, algorithmic solution methods for the solution of nonlinear programming problems are examined. First of all, considering the nonlinear equation systems, the solutions are explained with examples by using Simple Iteration, Newton-Raphson and Vertical Descent methods for the solution of these systems. Again, for the optimization of nonlinear programming problems, Planar Cutting Method, Decomposable Programming and Vertical Descent Method are explained. The fourth chapter is devoted to Geometric Programming, which has become increasingly important in recent times. Geometric Programming got its name from the arithmetic mean-geometric mean inequality. It is a programming technique that differs from other programming techniques by transforming the non-linear programming problem into a linear equation system using the arithmetic-geometric mean inequality, seeking a solution to the optimization problem and due to this feature. Geometric Programming; It is divided into two programming types, Pozinomial and Signomial geometric programming, and its theory is quite broad. In this section, we will only examine Pozinomial geometric programming.