Symbolic Calculation and Invertibility of Convolution Operators on the Infinite Dihedral Group

Abstract

Nowadays, convolution operators on discrete noncommutative groups are under intensive research due to their applications, in particular, in the theory and practice of data networking, in image analysis, and in problems of diffraction by bodies with a noncommutative symmetry group. The symbolic calculation for algebra of convolution equations on the noncommutative infinite dihedral group D inf has been developed. Necessary and sufficient conditions of invertibility of convolution operators from this algebra in terms of symbolic calculation have been found in this paper. Besides, inclosure of algebra of convolution equations on D inf into matrix algebra of convolution operators on the group of whole numbers extended with involutive operator has been constructed. In the theory of projection methods of the solution of operator equations the sequence of equations with more simple operators is constructed in order to approximate the solution of original equation with some accuracy, i.e. the reduction of original invertible operator to a more simple invertible operator. The connection between dual object of D inf and finite noncommutative dihedral group D m is studied. On the basis of this the operator of reduction that maps invertible operator of convolution on D inf to invertible convolution operator on D m is constructed in this paper.

Alternate abstract:

В настоящее время операторы свертки на дискретных некоммутативных группах интенсивно исследуются ввиду их прикладной значимости. Такие операторы применяются, в частности, в области передачи данных; в задачах защиты данных, обеспечивающих информационную безопасность; при разработке методов кодирования в сетях и каналах передачи данных; в обработке изображений и теории фильтров. В работе для алгебры операторов свертки на бесконечной диэдральной группе D inf разработано символическое исчисление, в терминах которого найдены необходимые и достаточные условия обратимости операторов из этой алгебры, и построено вложение в матричную алгебру операторов свертки на группе целых чисел, расширенную некоторым инволютивным оператором. В теории проекционных методов решения операторных уравнений по исходному оператору строится последовательность уравнений с более простыми операторами для того, чтобы решение исходного уравнения можно было аппроксимировать с заданной точностью решением более простого уравнения, то есть строится редукция от исходного обратимого оператора к более простому обратимому оператору. В работе изучена связь между двойственными объектами группы D inf и конечной диэдральной группы D m, на основе этого построен оператор редукции, который обратимому оператору свертки на D inf ставит в соответствие обратимый оператор свертки на D m, приведены свойства этого оператора.