Aproximantes de Padé: Métodos Diretos Versus Métodos Recursivos

Abstract

Um aproximante de Padé, de uma função real de variável real, é uma função racional em que a sua série de Maclaurin coincide o mais longe possível com a série de Maclaurin da função dada. A propriedade dos aproximantes de Padé serem funções racionais confere-lhes a capacidade de conseguirem, por exemplo, somar séries truncadas ou capturar singularidades de funções, constituindo, portanto, uma peça fundamental para este tipo de estudos. O cálculo de aproximantes de Padé pode ser efetuado via métodos diretos ou métodos recursivos.

O objetivo desta tese é comparar o método direto com o método recursivo de Baker, para calcular um aproximante de Padé ambos em precisão finita. Para confrontar estas duas abordagens, recorre-se ao cálculo do aproximante de Padé em precisão infinita, permitindo, assim, comparar os dois métodos direto/recursivo. Neste estudo, optou-se pela linguagem Python 3.7 e a livraria sympy para o cálculo formal.

Para três séries, construímos os correspondentes aproximantes de Padé, usando cálculo analítico e precisão aritmética finita. Evidências numéricas, baseadas na análise de alguns milhares de aproximantes de Padé, testemunham que a escolha do método depende da classe de funções, do grau dos aproximantes e dos pontos de colocação em estudo.

Alternate abstract:

A Padé approximant of a real valued-function is a rational function such that the Maclaurin series coincides as far as possible with the Maclaurin series of the given function. The fact that Padé’s approximants are rational functions gives them the ability to sum up, for example, truncated series or to capture singularities of functions, offering an important tool for this kind of studies. The calculation of Padé’s approximates can be carried out by direct or recursive methods.

The goal of this thesis is to compare the direct method with the Baker’s recursive method, to compute an approximant of Padé with a finite precision. To confront these two approaches, we will perform the calculation of the Padé approximants with infinite precision, which will allow us to compare the direct versus the recursive methods. In this study, we used Python 3.7 and sympy library for the analytical calculations.

For three series, we have constructed the corresponding Padé approximants, using analytical computation and finite arithmetic precision. Numerical evidences, based on the analysis of thousands of Padé approximants, show that the choice of the method depends on the class of functions, the degree of the approximations and the collocation points under study.