Analyse geostatistique par elements finis aleatoires et application en hydrogeologie

This work is composed of 2 parts: a theoretical part, where we explore the links between geostatistics and finite elements, and a practical part, in which we apply a new method of approximation, the logarithmic finite element method, to Darcy filtration problem.

Theoretical part (appendix). Generally, two types of information are available on a physical phenomenon: (1) field law (partial differential equations); (2) series of measurement. The purpose of this work is to develop a method for the modelling of physical phenomena that will integrate in a single formulation those two types of information. To this end, we shall study the connection between two families of methods: (a) the finite element method which is used mostly for the numerical approximation of boundary value problems, hence to process deterministically informations of type 1; (b) geostatistical techniques which permit to analyze series of measurements in order to perform estimations on the phenomenon (random approach).

The theoretical framework which is presented in appendix has enabled to establish a link between the intrinsic random functions of order k (I.R.F.-k) of MATHERON (1,2) and finite elements. Then the notion of random vector modulo a vector subspace S is introduced. It permits to present in an unified manner (cf. DUCHON (1)) the theory of best linear unbiased estimator (kriging). When S is the set of constant functions, we obtain ordinary kriging. When S is the vector space of polynomials of degree $\leq$ k, we obtain universal kriging. At the limit, when S is a finite element subspace, the best linear unbiased estimation is given by the finite element expansion.

All these considerations have led to propose a new approximation and estimation method: the logarithmic finite element method (LFEM), which will be used for the numerical solution of Darcy filtration problem.

Practical part (application to Darcy problem). A new random finite element model is presented in chapter 2 to solve the direct Darcy problem. Permeability is represented by a stationary random function, the expectation of which being constant in each flow zone (random direct problem). The use of this model is valid only for porous media with slowly varying permeability.

In chapter 3, the logarithmic finite element method is applied to solve Darcy direct problem when permeability is constant in each flow zone (deterministic direct problem). This method is mainly interesting for boundary value problems with singular data, such as point sources or wells in the case of Darcy problem. We show also how to incorporate in this model waterhead measurements in a number of wells.

Finally, in chapter 4, we explore the solution of Darcy inverse problem when permeability is represented by a logarithmic finite element expansion. We are interested in a heuristic solution technique which permits to incorporate in the numerical model a maximum of physical informations on the porous medium: physical constraints, geological informations, permeability and waterhead measurements.

In this thesis, we intend to apply mathematics to practical engineering problems. Citing MATHERON (14) (introduction, page 12), we are fully conscious "that symmetric critics can be addressed from both praticians and mathematicians: for the first ones this work being unnecessarily abstract, for the others insufficiently rigourous." This problem is difficult to avoid. Therefore, in order to make the reading easier, the theoretical considerations have been presented in the appendix, so that the application to Darcy problem can be read independently.

Alternate abstract:

Ce travail est composé de 2 parties : une partie théorique, où l'on explore les liens entre géostatistique et éléments finis, et une partie pratique, dans laquelle on applique une nouvelle méthode d'approximation, la méthode des éléments finis logarithmiques, au problème de filtration de Darcy.

Partie théorique (annexe). Généralement, deux types d'informations sont disponibles sur un phénomène physique : (1) la loi des champs (équations aux dérivées partielles) ; (2) série de mesures. L'objectif de ce travail est de développer une méthode de modélisation des phénomènes physiques qui intégrera dans une formulation unique ces deux types d'informations. Pour cela, nous étudierons le lien entre deux familles de méthodes : (a) la méthode des éléments finis qui est surtout utilisée pour l'approximation numérique des problèmes aux limites, donc pour traiter de manière déterministe des informations de type 1 ; (b) des techniques géostatistiques qui permettent d'analyser des séries de mesures afin d'effectuer des estimations sur le phénomène (approche aléatoire).

Le cadre théorique qui est présenté en annexe a permis d'établir un lien entre les fonctions aléatoires intrinsèques d'ordre k (I.R.F.-k) de MATHERON (1,2) et les éléments finis. Puis la notion de vecteur aléatoire modulo un sous-espace vectoriel S est introduite. Elle permet de présenter de manière unifiée (cf. DUCHON (1)) la théorie du meilleur estimateur linéaire sans biais (krigeage). Lorsque S est l'ensemble des fonctions constantes, on obtient un krigeage ordinaire. Lorsque S est l'espace vectoriel des polynômes de degré $\leq$ k, on obtient le krigeage universel. À la limite, lorsque S est un sous-espace d'éléments finis, la meilleure estimation linéaire sans biais est donnée par le développement par éléments finis.

Toutes ces considérations ont conduit à proposer une nouvelle méthode d'approximation et d'estimation : la méthode des éléments finis logarithmiques (LFEM), qui sera utilisée pour la résolution numérique du problème de filtration de Darcy.

Partie pratique (application au problème de Darcy). Un nouveau modèle d'éléments finis aléatoires est présenté au chapitre 2 pour résoudre le problème de Darcy direct. La perméabilité est représentée par une fonction aléatoire stationnaire dont l'espérance est constante dans chaque zone d'écoulement (problème direct aléatoire). L'utilisation de ce modèle n'est valable que pour des milieux poreux à perméabilité lentement variable.

Dans le chapitre 3, la méthode des éléments finis logarithmiques est appliquée pour résoudre le problème direct de Darcy lorsque la perméabilité est constante dans chaque zone d'écoulement (problème direct déterministe). Cette méthode est surtout intéressante pour les problèmes aux limites avec des données singulières, comme les sources ponctuelles ou les puits dans le cas du problème de Darcy. Nous montrons également comment incorporer dans ce modèle des mesures de hauteur d'eau dans un certain nombre de puits.

Enfin, au chapitre 4, nous explorons la solution du problème inverse de Darcy lorsque la perméabilité est représentée par un développement logarithmique par éléments finis. Nous nous intéressons à une technique de résolution heuristique qui permet d'incorporer dans le modèle numérique un maximum d'informations physiques sur le milieu poreux : contraintes physiques, informations géologiques, mesures de perméabilité et de hauteur d'eau.

Dans cette thèse, nous avons l'intention d'appliquer les mathématiques à des problèmes pratiques d'ingénierie. Citant MATHERON (14) (introduction, page 12), nous sommes pleinement conscients "que des critiques symétriques peuvent être adressées aussi bien aux praticiens qu'aux mathématiciens : pour les premiers ce travail étant inutilement abstrait, pour les autres insuffisamment rigoureux." Ce problème est difficile à éviter. Par conséquent, afin de faciliter la lecture, les considérations théoriques ont été présentées en annexe, afin que l'application au problème de Darcy puisse être lue indépendamment.