Processus de diffusion: Outils de modélisation, de prévision et de contrôle

Abstract

Diffusion processes defined by systems of stochastic differential equations are considered to model, forecast and control different physical phenomena.

We begin by generalizing optimal control problems for wear models of a machine by considering a performance criterion that takes the risk sensitivity of the optimizer into account. The optimal control is obtained for two and three-dimensional models from a mathematical expectation for a related uncontrolled process. Explicit solutions are presented.

Next, in order to forecast drainage basin runoff, mathematical models involving diffusion processes are tested against hydrological data obtained from the hydrographic basin of the Saguenay-Lac-St-Jean, located in northeastern Quebec. An integrated Ornstein-Uhlenbeck process is found to give better results than a deterministic model presently in use for one-day ahead estimates.

Finally, we investigate the validity of a new structure for a single neuron, that will eventually be used in multilayer neural networks to perform nonlinear pattern recognition. This new architecture is inspired by biological assumptions involving diffusion processes. It is clearly established that only six parameters are sufficient to solve the XOR problem.

Alternate abstract:

On considère des processus de diffusion définis par des systèmes d’équations différentielles stochastiques afin de modéliser, prévoir et contrôler divers phénomènes physiques.

On généralise, en premier lieu, des problèmes de contrôle optimal associé au processus d’usure d'une machine en envisageant un critère de performance qui tient compte du facteur de risque attribué à l’opérateur de la machine. La valeur du contrôle optimal est obtenue pour des modèles à deux et à trois dimensions à partir de l’espérance mathématique reliée à un processus non contrôlé. Des exemples explicites sont résolus.

Ensuite, des modèles mathématiques impliquant des processus de diffusion destinés à prévoir des débits d'eau sont évalués à partir de données recueillies sur le bassin hydrographique du Saguenay-Lac-St-Jean situé au nord-est du Québec. Il s’ensuit qu’un processus d’Omstein-Uhlenbeck intégré donne des prévisions de débits plus précises que le modèle déterministe présentement utilisé, et ce, pour des estimés à un jour d’avance.

Enfin, on évalue la validité d’une nouvelle structure neuronale destinée à être une partie intégrante de réseaux de neurones à plusieurs couches. Cette architecture originale est basée sur des hypothèses biologiques où l’on retrouve des processus de diffusion. On constate que ce nouvel élément est capable de distinguer des classes qui ne sont pas séparables linéairement. En particulier, seulement six paramètres suffiront à résoudre le problème célèbre du « ou exclusif ».