LA EXACTITUD MATEMÁTICA EN EL PLATÓN DE GADAMER

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RESUMEN: Este artículo pretende negar la posición que defiende que el Platón de Hans-Georg Gadamer no deja espacio al conocimiento exacto. Esta posición sí puede formularse sobre sus trabajos tempranos, donde las matemáticas se oponen a una consideración de la teoría y de la dialéctica dominada por la ética y la retórica. Sin embargo, el estudio de Jacob Klein sobre las matemáticas en la Antigua Grecia supone un punto de inflexión en la obra gadameriana. La descripción de Klein sobre la estructura del arithmos revela la posibilidad de convertir lo ambiguo en exacto y, a la vez, de mostrar la necesidad de una dialéctica interminable. Tras la recepción de esta estructura por parte de Gadamer, éste consigue integrar en Platón las matemáticas, incrementando incluso con ello el valor previamente concedido a la retórica y a la ética. El reconocimiento de dicha integración puede abrir nuevas posibilidades para la hermenéutica y su defensa del saber desde el fracaso del logos.

PALABRAS CLAVE: ética, hermenéutica, pensamiento matemático, platonismo, retórica.

ABSTRACT: This article aims to deny the view that Hans-Georg Gadamer's interpretation of Plato leaves no room for exact knowledge. Such a view can be stated regarding his early works, where mathematics is opposed to a consideration of theory and dialectics dominated by ethics and rhetoric. However, Jacob Klein's study of mathematics in Ancient Greece is a turning point in Gadamer's work. Klein's description of the arithmos-structure reveals the possibility of turning ambiguity into exactness and, at the same time, of showing the need for an endless dialectic. Following Gadamer's reception of this structure, he succeeds in integrating mathematics into Plato, thereby even increasing the value previously accorded to rhetoric and ethics. Ackknowledging this integration can lead to new possibilities for hermeneutics and its defense of knowledge from a failed logos.

KEYWORDs: ethics, hermeneutics, mathematical thinking, Platonism, rhetoric.

1. De la ética al megiston mathema: la interpretación temprana de Platón.

Bajo la guía de Martin Heidegger y Paul Friédlander, Gadamer llevó a cabo su tesis de habilitación sobre el Filebo de Platón (Gadamer, 2010: 32). Su tesis, tal y como fue reformulada en su obra La ética dialéctica de Platón: una interpretación fenomenológica de Platón (1931), aproxima los diálogos platónicos a la filosofía práctica de Aristóteles. La intención de detectar ese vínculo lleva a Gadamer no sólo a profundizar en la temática propia del Filebo, tan directamente referida a una cuestión ética, sino también en la propia exposición de su modelo dialéctico (Fil. 14c-19b). Siguiendo así lo insinuado en su trabajo de 1927 sobre el Protréptico (GW5: 176, 181-182, 185)', Gadamer, en esta obra de 1931, establece las bases para conectar la phrónesis aristotélica con la dialéctica platónica. Tal enfoque supone una primer e irreversible distanciamiento de Heidegger, quien por aquel entonces "no se interesa en absoluto por el saber práctico y la phrónesis" (Gadamer, 2010: 24).

Con esta idea en mente, Gadamer considera desde diálogos como el Fedón, el Fedro o el Sofista la clarificación del proceder dialéctico posteriormente examinado en el Filebo. Previamente, sin embargo, Gadamer hace una puntualización sobre el Dasein y sobre el conocimiento para los griegos. El marburgués relata el modo en el que el Dasein accede al discurso científico a través del "juego" que representa el lenguaje y la conversación con los otros (GW5: 25-33). El ser-a-lavista del Dasein, desde donde se adquiere por adelantado una disposición segura de la cosa, queda para Gadamer referido a la situación dialógica desde la que se alza. La atención sobre la cosa remite a las exigencias que el diálogo, en su fragilidad, nos impone para nuestra comprensión compartida del mundo.

La comprensión compartida de la cosa siempre queda comprometida en el diálogo. El valor de los diálogos socráticos, desde el incesante preguntar de Sócrates, muestra la ambigüedad con la que solemos tratar los asuntos de los que hablamos: la conversación fácilmente puede saltar de una a otra cosa sin uno percatarse, llegando a hablar sobre algo de lo que el resto o ya no habla o nunca llegó a hablar. Tal fragilidad del diálogo es aprovechada por el arte de los sofistas, quienes enseñan a imponer, explotando tal ambigiiedad, los intereses propios (GW5: 33-38). Sin embargo, a pesar de tales beneficios egoístas, la "degeneración" del diálogo impide alcanzar una comprensión compartida de la cosa. Para Gadamer, es este proceder erístico, donde la alteridad del otro pierde su auténtico valor y la comprensión es cada vez menos buscada, lo que lleva a Platón a lamentar el progresivo hundimiento de su mundo2. Sin una comprensión compartida del mundo uno no sabe cómo debe actuar en él.

Gadamer entiende así que los diálogos platónicos muestran la necesidad de una comprensión compartida a través del diálogo, desde el cual las diferentes razones y refutaciones de todos los integrantes pueden asegurar que la conversación se dirige hacia una y la misma cosa (GW5: 48). El modo en el que el Sócrates platónico pretende centrar la cosa en el discurso científico comprende su proceder dialéctico. Desde la hipótesis de las ideas y el refugio en los /ogoi, en las palabras (GWS5: 48-52), los diálogos nos muestran los diferentes movimientos de agrupación y diferenciación con los que poder articular, desde la dimensión de las ideas, el ser de las cosas. Sin embargo, todo el proceder de la dialéctica platónica es visto por Gadamer desde esta primera consideración existencial del Dasein. Su giro hacia la dialéctica responde a una petición científica que parte de nuestra dimensión práctica configurada desde el juego del lenguaje. La comprensión compartida supone no solo nuestra posibilidad de conocer correctamente, sino de actuar debidamente. Para Gadamer, la dialéctica platónica "capta la posibilidad inherente a la existencia humana de comprenderse a sí misma y de justificar la pretensión de conocimiento en todo lo que hace" (GW5: 73)3.

Desde tales consideraciones sobre la dialéctica, Gadamer estudia, desde el Filebo, la conexión que el diálogo establece entre la captación dialéctica del ser de las cosas y el bien para la existencia humana (GW5: 74-156). La vida mixta del ser humano, mezcla de placer e intelecto, encuentra su correspondencia con todo lo que llega a ser (el tercer género), mezcla de lo limitado e ilimitado. Su correlación expresa la unidad entre la búsqueda teórica del ser y la búsqueda práctica de nuestro bien. La expresión final de esa unidad viene provista por el Bien, el cual, comprendido en sus diferentes aspectos, expresa nuestra capacidad de escanciar la correcta mezcla (Fil., 61a-d), tanto respecto a lo que llega a ser como a lo bueno para nuestra vida: ante nuestras limitaciones, donde ni podemos regirnos plenamente por el intelecto ni podemos conceder una determinación plena a las cosas, el Bien supone nuestra capacidad de conseguir la mejor mezcla posible (GW5: 153-154). Nuestra comprensión compartida, cuya búsqueda nos es requerida para nuestra existencia en el mundo, queda siempre limitada, y esto significa: limitada a conocer el ser de las cosas y limitada a saber qué es lo correcto.

Esta limitación es la que permite establecer una correlación entre la dialéctica y el saber práctico de la phrónesis. La determinación aproximada a la que aspiran ambos procedimientos supone un elemento de inexactitud que repercute en una imposible planificación previa que asegure el resultado de forma independiente de las circunstancias experimentadas. Ambos procedimientos se encuentran ligados al caso concreto que compartimos con los otros: junto a ellos, siempre estamos invitados a dudar, a mantener la adecuada actitud reflexiva con la que justificar, a través de la debida división dialéctica, qué es lo correcto. Así, tras una previa consideración del Dasein y de su apertura hacia los otros, Gadamer llega, desde la lectura del Filebo, a una concepción de las raíces prácticas que sustentan a la teoría.

Heidegger, en los trabajos de esa misma época (de finales de 1920 a mediados de 1930), considera a la idea del Bien desvinculada de la ética (GA34: 100)4 y a la dialéctica platónica superflua (GA2: 34) y dirigida a una noción de la verdad como rectitud o exactitud, como "la exactitud de la mirada" (der Richtigkeit des Blickens) (GA9: 230). Gadamer toma un camino diferente: recupera para la dialéctica su dimensión práctica y su valor para con el otro, del que depende nuestra comprensión y nuestra existencia compartida. Este distanciamiento de su maestro ha sido interpretado como un rechazo de Gadamer por las posiciones totalitarias a las que Heidegger, ajeno a la importancia de la alteridad para entender la comunidad histérica del Dasein, podia dar cabida (Bey, 2021: 71-74). Sin embargo, incluso después de que el pensamiento de ambos no quedara determinado por la urgencia politica del momento, esta primera diferencia interpretativa marca una distancia que se mantendrá en el tiempo: Heidegger terminará por concebir a Platón como el precursor de la onto-teología, mientras que Gadamer, enfatizando este vínculo entre phronesis y dialéctica, salvará al ateniense de esta posición (6 W3: 302-303), permitiendo incluso vincular la dimensión ética del Dasein con la noción de verdad como aletheia.

Con todo, a pesar de que esta obra suponga una revalorización ética de la alteridad a todos los niveles del saber (Gadamer, 2010: 31-34), la lectura gadameriana invita a pensar en una desvalorización de la exactitud teórica. Alejar a Platón de la "exactitud de la mirada" que le atribuye Heidegger tiene así sus consecuencias. La comprensión de la dialéctica en su correlación con la phrónesis parece casi relegar todo saber teórico a la retórica, al conocimiento de lo probable, sujeto al azar y al cambio. Lo cierto es que tal impresión queda explícitamente confirmada por Gadamer, quien llega incluso a considerar la física aristotélica como una empiria y un saber retórico (2010: 74-75). Para el marburgués, los diálogos platónicos (como también los tratados aristotélicos) nos permite repensar el saber su unidad desde la praxis, aunque ello suponga otorgar a la retórica un nuevo protagonismo.

Ahora bien, Gadamer no olvida que el ideal del saber teórico, tal y como puede verse desde Platón y Aristóteles, resulta ser el conocimiento objetivo que permite ser enseñado y aprendido con exactitud. Nosotros mismos podemos ver que la episteme, tal y como indica Aristóteles, supone el conocimiento de lo necesario y eterno (E.N., VI, 1139b 20-25), donde la buena deliberación no tiene cabida (Е.М. VI, 1142b 1-5); y en la República de Platón, la idea del Bien nos provee del verdadero ser de todas las cosas (Rep., VI, 509b). ¿Pero qué cabida tiene un conocimiento de tal tipo dentro de la unidad descrita entre praxis y teoría, entre dialéctica y phrónesis? Gadamer reconoce que la parcialidad de los tratados aristotélicos excusa al Estagirita, quien en su proceso de conceptualización señala más la distinción entre saberes y disciplinas que su vívida unidad en nuestra existencia dialógica (GW5: 248). Sin embargo, desde Platón, Gadamer ha podido apelar a esa unidad de saberes que encuentra su raíz ética en la comprensión compartida con los otros. ¿Cómo resuelve entonces Gadamer este problema en Platón?

Ya en sus estudios platónicos de los años treinta, Gadamer reconoce que, para los griegos, la ejemplaridad de la exactitud descansa en las matemáticas. En su artículo de 1930, Saber práctico, Gadamer reconoce la ejemplaridad que Platón otorga a las matemáticas como modelo de conocimiento exacto (GW>5: 235). Sin embargo, la presentación que Gadamer realiza de las matemáticas en Saber práctico tiene como finalidad su supeditación a la idea del Bien, cuyo conocimiento, ligado a nuestro ser práctico, se considera superior al transmitido con exactitud por éstas (GW5: 237). Para Gadamer, la idea del Bien en Platón debe comprenderse desde la unidad que debe establecerse entre nuestra actitud práctica y teórica. Es en esta unidad donde las matemáticas, con toda su exactitud, son reconocidas en su parcialidad. Desde tal unidad se reconoce que el aprendizaje propio de las matemáticas, exacto e independiente de la experiencia, no puede identificarse con el aprendizaje de las virtudes y de la correcta actitud práctica. Por tal razón, la idea del Bien, el megiston mathema, supone un conocimiento superior al de las matemáticas: desde él reconocemos un límite que ellas obvian. El megiston mathema, el conocimiento que tanto guía nuestra existencia práctica como da razón a todo ser (GW>5: 238), no puede enseñarse como las matemáticas.

De tal modo, en Saber práctico Gadamer considera que la correlación entre la ciencia y la ética debe entenderse en su carácter negativo, como el fracaso de su identificación en la dialéctica (6 W5: 232). Considerar la idea del Bien como megiston mathema no resuelve nuestro problema con las matemáticas. Si bien podemos reconocer su inferioridad frente a la idea del Bien, sigue siendo desconocido para nosotros cómo el conocimiento exacto de éstas se integra en una comprensión de la totalidad del saber dominado por lo aproximado. El conocimiento más elevado es el transmitido por la aporía y por la ignorancia socrática, esto es, el conocimiento de la siempre inexacta y revisable comprensión de lo que llega a ser. Desde aquí las matemáticas no parecen ser deducibles, y ello supone dejarlas incongruentemente fuera de aquella unidad de todos los saberes expresada por la idea del Bien. Lo cierto es que el problema de cómo se integra el conocimiento exacto en Platón no solo supone un problema historiográfico, sino uno que se dirige directamente al corazón de la hermenéutica, cuya ambigiiedad e inexactitud son, desde sus raíces platónicas, igualmente criticadas (Bormann, 1971: 83-88).

La constitución de su hermenéutica encuentra sus primeros pasos en estas lecturas de Platón, donde descubre la posibilidad de comprender la unidad de todos los saberes partiendo de la valoración ética de los otros. Que las matemáticas no queden integradas en la filosofía de Platón supone, bajo el acento ético que Gadamer otorga a dicha filosofía, enfrentar la ética al conocimiento exacto. En esta interpretación de Platón tenemos el mismo problema que el que se le achaca a la hermenéutica gadameriana: un excesivo peso a la retórica (Habermas, 1971: 120-121). Sin embargo, se pasa por alto el modo en el que Gadamer desarrolla precisamente una solución a este problema. Dicha solución, sin embargo, es irreconocible sin tomar previamente en consideración el trabajo de su compañero Jacob Klein. Desde un examen a su obra El pensamiento matématico griego y el origen del algebra, veremos cómo la dialéctica platónica puede ser vinculada con las matemáticas y su función de convertir en conocimiento exacto lo ambiguo. Sin embargo, el punto crucial de la lectura de Klein no consiste en esta pérdida de la ambigúedad, sino en la demostración de que la exactitud matemática se establece bajo la ruptura del Jogos. La solución de Klein entre la exactitud matemática y la dialéctica es posteriormente recuperada por Gadamer en sus obras de madurez. Analizando algunos de sus trabajos, desde la década de los 60 hasta los 90, podremos ver cómo Gadamer termina por integrar la exactitud matemática en su interpretación de Platón; una interpretación que no sólo asume esta integración, sino que, en su apropiación, mejora y explicita ese vínculo que establece entre la dialéctica y la phrónesis.

2. La estructura del arithmos en los estudios platónicos de Jacob Klein.

Jacob Klein, compañero de Gadamer en Marburgo, publicó en 1934 La lógica griega y el origen del algebra. Junto a una segunda parte publicada en 1936, Klein llegó a articular una lectura de las matemáticas que incidía, desde una posición cercana a la fenomenología de Husserl", en los antiguos fundamentos de esta ciencia, olvidados por la modernidad. Desde tales trabajos, reunidos en una sola obra en 1908 bajo la iniciativa y traducción de su discípula Eva Brann (Jiménez, 2019: 81), podremos captar la influencia de Klein en el Platón de Gadamer.

Klein considera que, en Platón, como en el resto del pensamiento griego, la noción de número (Zahl) implica el de una cantidad enumerada (Anzahl). Cada número determinado expresa una cantidad contada de múltiples unidades. El número es una multitud (Klein, 1968: 51), una multitud determinada a partir de la enumeración de las unidades que la constituyen. La posibilidad de que cada número sea determinado implica contar sus unidades: así, por ejemplo, el número 3 consiste en una multitud en la que se cuentan 3 unidades. La aritmética parte de esta enumeración, de la capacidad de contar una sucesión ordenada de unidades: ella es el arte de contar correctamente (Klein, 1968: 19). El número final que se alcanza al contar cada sucesión de unidades supone el arithmos, el cual indica "un número definido de cosas definidas" (Klein, 1968: 40).

Como afirma Klein, el arithmos debe concebirse desde un grupo de unidades que mantienen una familiaridad o afinidad que posibilite su participación en el mismo proceso de enumeración. Podemos, por ejemplo, contar 9 objetos, o en su distinción, 3 manzanas, 3 peras y 3 platos; o en su parcial agrupación, 6 frutas y 3 platos. En tanto que se enumeran dentro de uno u otro número, cada cosa se considera desde el carácter que las vincula con el resto. Sin embargo, su uniformidad no anula la distinguida singularidad de cada cosa: si todas fueran agrupadas en una sola y homogénea unidad el fenómeno de la enumeración tampoco podría tener lugar (Klein, 1968: 52-53). De tal modo, desde su afinidad compartida y su singular unidad, cada cosa puede considerarse desde uno u otro arithmos. Tal capacidad de generar diferentes arithmos desde las diferentes relaciones que se establecen supone la posibilidad de todo cálculo (Klein, 1968: 23).

Tal como Klein explica, Platón parte de la estructura que representa el arithmos para alcanzar con exactitud epistémica lo que ambiguamente afirmamos conocer desde los sentidos. Ciertos objetos percibidos mantienen esta aparente contradicción, ya que tienen un "carácter relacional" (Klein, 1968: 76) que exige para su correcta comprensión partir de la distinción y de la comparación: tanto la pequeñez y la grandeza de un dedo, como se ejemplifica en la República, son percibidos sin claridad en el mismo dedo (Rep., VII, 523€); sólo podemos resolver esta contradicción aclarando que el dedo indicado es más pequeño que algunos dedos y más grande que otros. Para tal aclaración es necesario que el intelecto vincule correctamente lo uno con lo múltiple desde la estructura del arithmos. Así Platón nos habla de la educación matemática para obtener dicha claridad (Rep., VII, 525a-526c). Su proceder, desde la consideración eidética del objeto como noeta, supone su introducción en diferentes enumeraciones. Desde tales enumeraciones, "más grande que" y "más pequeño que" se distinguen como estructuras de medida que expresan diferentes secuencias numéricas de las que participa el noeta (Klein, 1968: 76). Así lo ambiguamente percibido queda conocido con exactitud desde su integración noética en diferentes enumeraciones, las cuales revelan la magnitud del objeto.

El pensamiento nos conduce desde el ambiguo conocimiento de lo sensible hacia el conocimiento exacto que los arithmoi nos proporciona en la realidad noética. Desde las matemáticas la estructura de los arithmoi se estudia en sí misma, atendiendo a las unidades al margen de lo sensible. La consideración "pura" de la unidad", de la unidad como mónada, consigue evitar los problemas de afinidad y finitud que experimentamos en todo número de cosas sensibles (arithmos aisthetos). Las mónadas, en su plena uniformidad e infinita reproductibilidad, proporcionan al matemático la capacidad de generar cualquier vínculo entre unidades, pudiendo contar y calcular cualquier número de mónadas (arithmos monadikos o mathematikos). Desde esta capacidad de calcular desde los números puros, concluye Klein, el propio pensamiento descubre el verdadero fundamento de toda comparación (1968: 78-79).

Ahora bien, para Platón, el modo en el que el pensamiento puede atender a su objeto de estudio siempre queda ligado a su vínculo con lo múltiple. Incluso desde la aclaración matemática de la estructura del arizhmos, el pensamiento, en la claridad sobre las diferentes relaciones percibidas, no puede conocer lo "uno" en sí mismo (Klein, 1968: 78), sino sólo en su relación con otros "unos". El estudio del arithmos mathematikos parte de una concepción no problemática de las mónadas y de los arithmoi que las agrupan: ellas son una condición para que todo número o cálculo tenga lugar. Afirmamos que la unidad del número es generada por la agrupación de mónadas, ¿pero comprendemos su unidad sólo refiriéndonos a la a la multiplicidad de las mónadas? En tal caso, dada la uniformidad de las mónadas, nunca podríamos retener a la vez en un mismo grupo, por ejemplo, el número 3 y el número 7, sino solo la agrupación final de todas las mónadas, es decir, el número 10. ¿Cómo podríamos conocer todos los posibles cálculos que nos señalan las propiedades de los números si, atendiendo sólo a las mónadas, sólo podemos contar un solo número final? Tal proceder va en contra de las varias operaciones y aclaraciones con las que las matemáticas avanzan.

El problema sobre la unidad no se restringe a los números matemáticos, sino a cualquier unidad noética o idea. Tal como indica Klein, la unidad de la que partimos en nuestra reflexión desde las ideas es supuesta, esto es, hipotetizada (1968: 72-73). Tal suposición de la unidad es lo que Platón expresa en el Fedón desde la hipótesis de la idea desde los /ogo; (Fed., 100a) de la idea que apresa la unidad noética que subyace al asunto u objeto bajo estudio. Sin embargo, a este nivel, el pensamiento considera de forma no problemática la unidad que representa la idea hipotetizada, unidad de la que debe servirse para la comparación. Platón otorga al dialéctico la tarea de entender esta unidad, de la que parten tanto las matemáticas como nuestra propia reflexión (Klein, 1968: 797.

Para Klein, el problema al que se enfrenta el dialéctico queda indicado en Platón a través del problema de la participación entre ideas (1968: 80). Desde la propia realidad noética, la distinción del ser unitario de la idea no puede desligarse de su vínculo con las otras ideas, de las cuales precisamente se distingue. Su vinculación con una multitud de ideas implica, ante la búsqueda de su unidad, la exigencia de una idea superior, de un género que exprese eidéticamente la propia unidad de esa vinculación. El género, cuyo valor reside en agrupar en una idea superior un número plural de ideas, no puede, sin embargo, unificar a las ideas de forma que estas pierdan su unidad específica. La unidad que supone el género no puede diluir las singularidades de las ideas, que, en un primer lugar, posibilitan su particular vinculación eidética y, por ende, la formación del género.

Klein ejemplifica esta tensión eidética entre lo uno y lo múltiple desde la aporía presentada al final del Hipias Mayor (Hip. May., 301d-302b): Sócrates e Hipias forman entre ambos un grupo de dos, pero el "dos" que caracteriza a este grupo no proviene de lo singular de ambos, pues cada uno es "uno"; tampoco proviene de lo común en cada uno, pues ser "uno" es precisamente lo común en cada uno. Ambos forman un "par", pero ni cada uno es por sí mismo "par", ni, inversamente, el "par" que suman puede comprenderse desde lo "impar" común a cada uno. Según considera Klein, Platón estaría indicando desde esta aporía que la solución a la agrupación de ideas requiere la comprensión de su numeración final, es decir, del arithmos eidetikos que suman (Klein, 1968: 81, 89). El arithmos no desestima la multitud de unidades que lo suman, las cuales, precisamente por mantener su singular unidad en su mutua vinculación, generan tal número. El "dos", desde el ejemplo del Hipias Mayor, es algo que puede referirse a cada "uno" sólo en tanto que éste se considera desde su participación en la enumeración que genera el "dos".

El género, como el "dos", nos muestra que el vínculo que agrupa a un conjunto de ideas no refiere a la mutua participación de tales ideas entre sí, pues ello comprometería la unidad que cada una supone. La afinidad común que se les atribuye solo debe entenderse desde la participación de cada una en la formación de un mismo género, cuya respectiva unidad no es otra que la de ser una enumeración final de unidades distinguidas. Solo conseguimos una comunidad (koinonia) parcial de las ideas, pues lo común entre ellas solo se expresa desde su agrupación en la misma enumeración (Klein, 1968: 81,89-90). Klein ejemplifica esta comunidad parcial del arithmos eidetikos desde la problemática agrupación que en el Sofista se plantea entre las ideas opuestas de reposo y cambio (Sof-, 250ad). Reposo y cambio son ideas opuestas que, sin embargo, participan ambas del ser. La comprensión de esta agrupación requiere del arithmos: las ideas de reposo y cambio son cada una igual a sí mismas y, en tanto que ello supone que son distintas, su unidad en el ser solo puede entenderse desde la enumeración que forman, como la reunión de unidades distinguidas. El ser es reposo y cambio, pero su unidad no se identifica con las características de una u otra situación, sino con la suma que, en su irreductible distinción, juntas generan.

Con el ejemplo del Sofista Klein pretende mostrar un paralelismo entre la solución desde la estructura del arithmos (tal y como él la describe) y la solución propia del diálogo, introducida a través de los otros dos géneros mayores: mismidad y diferencia. Desde la mismidad y la diferencia podemos reconocer, tal y como hacemos en el arithmos, que la idea es igual a sí misma y que ello implica, por mor de su mismidad, que ella sea diferente del resto. Todo ser, concebido desde las ideas, queda así doblado, pues requerimos mostrar su vinculación con lo otro para ser él mismo. Para Klein, la mismidad y la diferencia tejen la estructura misma de todo arithmos eidetikos, de toda agrupación y distinción eidética (1968: 95). La comprensión de una idea en su unidad requiere que ella sea pensada dentro de un arithmos con otras ideas, donde cada una pueda ser igual a sí misma al ser tomada en su vinculación con una multiplicidad de la que, a la vez, se distingue.

La correcta vinculación y distinción entre ideas es la tarea propia del dialéctico, que de esta forma pretende captar la unidad de la idea. Sin embargo, como afirma Klein, la incansable duplicación a la que debe someterse todo lo que es, supone el fracaso del /ogos: la unidad en sí misma no puede comprenderse sin contarse más de una unidad, pues siempre requerimos de su suma con otras ideas (1968: 99). Lo uno, sin el dos, no puede comprenderse en su ser. Por ello, remitiendo a los dos principios de la doctrina no escrita de Platón, el Uno y la Diada indeterminada (Mer. A, 6, 987b 25-988a 1), Klein precisa que, ante el fracaso del logos, Platón comprende la expresión final de la unidad, el Uno, desde la idea del Bien, cuya peculiaridad, al desconsiderarse su duplicidad, es ser entendida al margen de la existencia (1968: 98).

Sin embargo, desde ese fracaso en el logos, el arithmos eidetikos es capaz tanto de posibilitar todo enumerar como de dar cuenta de las diferentes ideas de los números (Klein, 1968: 92-93). La incapacidad de disolver la unidad singular de cada idea en la unidad superior del género supone la posibilidad de enumerarlas dentro de una suma cuya respectiva unidad es también indisoluble: de tal modo se comprende eidéticamente el número, desde la agrupación y enumeración de las ideas8. A la vez, la idea de esa agrupación numérica mantiene su unidad singular ante las ideas que expresan otras enumeraciones. Frente al arithmos monadikos que representa la multitud de "tres unidades", infinitamente reproducibles e integrables en otras series de mónadas, la idea de "el 3", mantiene la unidad y unicidad que todo número eidético precisa (Klein, 1968: 90). Desde las ideas se hace comprensible que el matemático sea capaz de firmar cosas como que el 3 y el 7 forman un grupo de impares, a pesar de que las 10 unidades que indican ambos números supongan un número par. El matemático, sin necesidad de ser consciente de ello, procede a través de ideas (·3", "7" "par", "impar") cuya unidad y relación se asientan en la propia dialéctica.

A pesar de todas las críticas que se dirigieron a Platón sobre el carácter ontológico de los números matemáticos en relación con sus ideas9, son estas unidades propias de nuestra dimensión noética las que operan en las matemáticas. La fundamentación eidética de las matemáticas llega, de mano de los neoplatónicos, hasta el formalismo simbólico de Viete, cuya comprensión de las diferentes ideas de los números como propios números matemáticos (a través de la noción de símbolo) supone, para Klein, el inicio del concepto moderno de número, donde la tensión dialéctica de su ser queda finalmente desatendida (1968: 164-175).

3. La integración final de las matemáticas en el Platón de Gadamer.

La importancia que Klein atribuye a la dialéctica para la claridad de las matemáticas revela por sí sola las posibilidades de integrar el conocimiento exacto en la interpretación de Gadamer sobre Platón. Lo cierto es que, desde la noción de arithmos, Gadamer no sólo revisa su lectura temprana de Platón, sino que refuerza su núcleo. Partiremos de tal revisión de su lectura de Platón para explicitar el modo en el que Gadamer llega a integrar el conocimiento exacto en ese saber regido por la vinculación entre la dialéctica y la phrónesis.

La mutua influencia entre ambos pensadores (amigos de escuela) se remonta, según el propio Gadamer, a los años que compartieron en Marburgo (GWO: 133). Durante ese periodo Gadamer incluso pudo conocer el trabajo de Klein antes de ser publicado. Como Klein menciona en una carta a Leo Strauss en 1933, Gadamer era, por el momento, el único que había entendido su trabajo (Arquer, 2015: 156, 167). Una primera consideración de Gadamer sobre la importancia del número para la dialéctica platónica puede detectarse en la tumultuosa década de 1940". Al final de su trabajo El Estado educacional de Platón Gadamer avanza para un siguiente proyecto la importancia del número (Zahl) para la educación de los filósofos, esto es, para el arte de la dialéctica y su captación del Ser (GW5: 262). A pesar de ser solo una breve mención al número, pensadores como P. Christopher Smith han tratado este pasaje final como un primer cambio de rumbo en la lectura "política" del Platón de Gadamer. Frente a la posibilidad concebir un Estado utópico a través de la capacidad de los filósofos de mantener en el diálogo la mirada puesta en el ser verdadero (GW5: 261-262), la comprensión dialéctica del ser del número remarca la limitada capacidad reflexiva y crítica del ser humano (Smith, 1980: xi). Este límite, como veremos, ya no se muestra simplemente como la determinación "aproximada" de lo que llega a ser (algo que puede dar cabida a un Bien trascendente), sino como la ruptura del logos, que en su fracaso nos obliga a decidir"

Con todo, el empleo de las nociones de "Anzahl" y de "arithmos" en Gadamer no son tratadas con claridad hasta la década de los sesenta, donde explícitamente Gadamer interpreta a Platón desde la estructura aritmética provista por Klein. En este sentido, podemos considerar como un punto de inflexión su trabajo La dialéctica no escrita de Platón, donde Gadamer afirma recuperar la noción de arithmos descrita por Klein para ampliar la interpretación de Platón dada en La ética dialéctica de Platón (GW6: 139). En esta obra, Gadamer reproduce la descripción sobre el arithmos eidetikos que Klein atribuye a la agrupación entre ideas. Ante la exigencia del Parménides de considerar un número múltiple de ideas para pensar la unidad de una, nuestra única posibilidad de comprender finalmente la realidad noética del ser de las cosas se expresa modélicamente en el misterio de los números (GW6: 137). Que lo uno sea comprendido por lo múltiple que no es lo uno supone, para Klein, nuestra forma de concebir desde la dialéctica el modo ser del noeta (Klein, 1968: 91), de la cosa entendida desde las ideas; Gadamer, por su parte, concibe desde el modelo del arithmos nuestra capacidad discursiva de articular en los /ogoi la unidad de la cosa, atendiendo а su mismidad y diferenciación (G WO: 143). Toda definición o discurso sobre el ser de la cosa supone una multitud de ideas que, articuladas bajo los vínculos apropiados (como ser "diferente а"), posibilitan la comprensión específica del ser de la cosa. Ambos, por lo tanto, conceden a la estructura del arithmos eidetikos y a su atención dialéctica una posición primordial para el pensamiento de Platón. Gadamer, sin embargo, piensa este arithmos по sólo para esclarecer los principios del proceder dialéctico, sino para aclarar, fiel a su proyecto original, la conexión entre dialéctica y phrónesis.

Ello requiere, en primer lugar, mostrar las posibilidades del logos de captar el ser de las cosas desde esta estructura del arithmos. Tal y como aduce Gadamer, que las ideas solo puedan comprenderse desde la oscilación de la razón entre lo uno y lo múltiple articula toda posibilidad de conocer desde el Jogos el asunto tratado. Cada idea es una en sí misma y a la vez, desde la estructura del arithmos, diferente a sí misma en la suma de lo múltiple que resulta el género. Mismidad y diferencia expresan los dos movimientos que el pensamiento realiza para captar dialécticamente el ser de la cosa investigada. Para Gadamer, como también menciona Klein, ambos movimientos suponen los principios del Uno y la Diada indeterminada (о el Dos indeterminado) (GW6: 145-150). Para ambos pensadores tales principios deben entenderse desde esta oscilación dialéctica que queda comprendida desde el arithmos: toda búsqueda de lo uno en sí mismo (el uno) implica su vínculo con lo múltiple (el dos) indeterminado, es decir, con la suma final de una pluralidad de unidades en la que cada una, sin embargo, ni se identifica con la suma final ni con las otras unidades. La indeterminación de la diada expresa la imposibilidad de reducir lo múltiple a lo uno о a una pluralidad concreta de unos. La dialéctica debe atravesar lo múltiple como tal para captar la unidad.

Para Gadamer, la constatación de esta necesidad dialéctica implica la capacidad de generar, desde las diferentes agrupaciones eidéticas que pueden irse explicitando en cada caso en particular, un infinito número de discursos posibles (GW6: 151). La multiplicidad indefinida que debe estar presente supone la capacidad de traer siempre al discurso un arithmos distinto, el cual exprese, para captar el ser de la cosa, una particular combinación eidética. La infinitud del discurso tiene un obvio paralelismo con la lingiiisticidad de la hermenéutica. Sin embargo, lo esencial aquí es que tal infinitud de los discursos debe implicar un infinito número de arithmoi: algo que precisamente se cumple cuando pensamos en la idea de cada número ("el 2", "el 3", etc.). La generación de todo discurso, como agrupación de un conjunto numerado de determinaciones eidéticas, queda vinculada con la generación de toda idea numérica. Gadamer consigue así integrar, desde la infinita labor de la dialéctica, la exactitud matemática en la retórica.

Ante la posibilidad de generar un infinito número de discursos sobre el ser de la cosa, Gadamer considera que, a pesar de siempre mantenernos en el logos, éste fracasa en su pretensión final: es imposible traer al discurso todas las relaciones eidéticas a la vez (GW6: 152)12. Al igual que Klein, Gadamer tampoco niega el fracaso del Jogos. Cierto es que dicho fracaso es atendido de formas diferentes: Klein, dando un mayor peso al número, considera el fracaso del logos ante la incapacidad de que la unidad de la idea pueda ser adecuadamente contada como una; Gadamer, por su parte, dando un mayor peso al lenguaje, considera el fracaso ante la incapacidad de que la unidad de la idea pueda ser plenamente definida desde el discurso. A pesar de sus diferencias, las dos nociones de logos no son excluyentes, y en ambos casos la consideración de su fracaso atiende a la indefinida duplicidad que exige toda comprensión de la unidad; y esto significa: toda determinación del ser de la cosa implica su parcial ocultación. Sin embargo, en el caso de Gadamer el fracaso del logos va seguido de una cuestión ética que no debe pasar desapercibida. Tal y como Gadamer demuestra en su obra Dialéctica y sofismo en la Carta Séptima, Platón conoce bien las limitaciones de captar el ser desde el /ogos, por lo que, en cualquier situación, siempre tendrá ventaja quien prefiera emplear la erística para degenerar el discurso en dirección a sus intereses (GWO: 107-109). La última palabra recae en la solidaridad y bondad entre los interlocutores (GW6: 109), quienes, por amor al saber, no deben aprovecharse de tales limitaciones para imponer sus propios intereses.

Esta connotación ética del fracaso del Jogos apunta a la unidad del saber platónico, cuya expresión última es comprendida por Gadamer desde la idea del Bien. En La idea del Bien en la filosofía de Platón y Aristóteles (1978), Gadamer, reconociendo la aportación de Klein, reconduce el Bien a su atención dialéctica, cuya articulación desde el arithmos, desde la necesaria duplicidad, supone la imposibilidad de comprenderlo en sí mismo (GW7: 133-144). Con todo, a pesar de que la idea del Bien (como expresión del Uno) no pueda comprenderse en su ser, éste indica el movimiento dialéctico hacia la unidad y mismidad de las cosas, las cuales se pretenden captar así desde las ideas. Para Gadamer ello puede verse desde el Filebo en su consideración del Bien como una mezcla correcta, esto es, como la fórmula para la determinación de las cosas, a pesar de que deba mezclarse con la indeterminación. En tanto que el mero devenir llega al ser en su determinación eidética, podemos decir que el Bien "brilla" en todo lo que llega a ser, en todo lo que supone una bella, aunque aproximada, determinación de lo indeterminado (GW7: 194). El Bien no supone así un ente trascendente, sino la determinación elegida para la unidad que se expresa en la comprensión compartida de la cosa (GW7: 192-193).

Desde tal determinación dialéctica del Bien platónico, entendido como la expresión de la "medida" correcta ante lo desmedido que siempre nos sobrepasa, cerramos el círculo iniciado con su obra de 1931: desde la misma estructura del arithmos podemos dar cuenta de la siempre parcial comprensión que tenemos del mundo y de nuestro ser; una parcialidad que nos invita a saber la elección correcta en cada momento decisivo. Tanto en la dialéctica como en la phrónesis la parcialidad supone la elección, sea la elección de las distinciones adecuadas para hacer comprensible la cosa en el discurso, sea la elección de la acción o conducta correcta: en ambos casos la determinación de uno u otra palabra o acción supone (desde la noción platónica del Bien) buscar lo que es bueno (GW7: 189). Lo bueno queda así marcado por la situación compartida con el otro y, por ende, queda también expuesto a su revisión ante un cambio de las circunstancias compartidas. Lo bueno, aunque situado y finito, nos guía junto al otro hacia un obrar y un conversar infinito 13. No es la intención de este trabajo analizar la lectura gadameriana sobre el Bien platónico, sino sólo atender a la integración de la exactitud matemática en su interpretación. En este sentido, vemos que la tarea del Gadamer temprano, en el que la unidad del saber práctico y teórico nos remitía a una revalorización del conocimiento de lo probable, queda en su madurez reforzada: en tanto que se introduce la noción del arithmos para comprender la articulación eidética de la unidad del ser, tanto la exactitud matemática como la parcialidad del conocimiento son concebibles en la misma unidad del saber que se expresa a través de la idea del Bien, razón de todo lo que es y de todo lo que es-bueno.

4. Conclusiones: la oportunidad hermenéutica.

A pesar de todo lo dicho, Gadamer no termina por describir de forma detallada esta posibilidad de poder tratar el conocimiento exacto dentro de la dialéctica platónica. Lo cierto es que más bien Gadamer suele remarcar, inversamente, la incomprensión del saber dialéctico desde las matemáticas. Ocurre así de nuevo, en 1990, en la obra Dialéctica no es sofística. Teeteto aprende esto en el Sofista (GW7: 352-363). Sin embargo, a diferencia de sus obras tempranas, esta incomprensión se revela ahora como una integración de las matemáticas a la dialéctica. Puede verse ello en Dialéctica y matemática (1984). Gadamer muestra ahí cómo Teeteto, en el Sofista, es llevado desde su conocimiento de las matemáticas hacia sus fundamentos en la dialéctica. Las limitaciones del matemático para comprender la agrupación entre ideas muestran que su capacidad de enumerar y calcular no es suficiente para entender la unidad del número como Anzahl, del cual sin embargo parte. El conocimiento de esta unidad, que las matemáticas supone, reside en la dialéctica, quien en su propio proceder lo revela:

la universalidad de la unidad enumerada (Anzahl) es conocimiento no en tanto que es conocimiento [matemático] de la suma, sino en tanto que abarca el eidos y el genos y descubre la unidad en la multiplicidad. Es la simultaneidad del diferenciar y del emparentar lo que hace del conocimiento, conocimiento (GW7: 312).

La relectura gadameriana de Platón a través de la estructura del arithmos tiene un valor que va más allá del puramente interpretativo. Al margen de su importancia para comprender la temporalidad y finitud de la comprensién'?, Gadamer nos presenta con Platón la oportunidad de considerar un pensamiento hermenéutico que, desde la prioridad dada al saber práctico y a la retórica, puede integrar el conocimiento exacto. Ello lo consigue no sólo apelando al carácter hermenéutico de los objetos científicos (Fisher, 2004: 439-440), sino también demostrando cómo la exactitud numérica puede surgir del carácter electivo que yace en toda interpretación. El conocimiento exacto de las matemáticas queda así reflejado en la temporalidad de la existencia, siendo los propios números concebibles como una prueba que clarifica nuestro apego a la decisión práctica. La hermenéutica de Gadamer, tan denostada como alabada por su revalorización del conocimiento de lo probable, es plenamente malinterpretada si se desconsidera su atención al conocimiento de lo exacto. No hay en su obra algo así como una aporía que nos exija elegir entre el saber de la ciencia y el de nuestra existencia histórica (Ricoeur, 1981: 91).

La unidad de todos los saberes desde nuestra existencia finita supuso para Gadamer la tarea de todo un siglo, y la atención a las matemáticas acompañó a esta tarea desde el principio. A pesar de la carente articulación final, Gadamer no nos impide ver las direcciones que dicho proyecto puede tomar desde la prioridad de nuestra existencia finita y compartida con los demás. Su legado se une a los esfuerzos de reconciliación que algunos pensadores han trabajado desde diferentes corrientes filosóficas (Fisher, 2003: 765-771, 777-781). Desde la figura de Platón, Gadamer concede a la filosofía la oportunidad de agrupar los diferentes saberes sin que, con ello, apuntemos a la guía de un intelecto infinito o a un espíritu (Geist) divino (GW6: 152).

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Footnote

1 Para las obras de Gadamer refiero, en la medida de lo posible, a su ubicación en los volúmenes de las Gesammelte Werke (GW).

2 En Platón y los poetas (1934), Gadamer detalla este hundimiento como un desinterés por la justicia, perpetrado desde la desvirtuación sofística de la tradición poética y sus modelos de conducta ejemplar (6 W5: 195-196).

3 Todas las traducciones son propias.

4 Para las obras de Heidegger refiero a su ubicación en los volúmenes de la Gesamtausgabe4 (GA).

5 José María Jiménez Caballero remarca la cercanía que este proyecto de Klein mantiene con la posterior obra de Husserl La Crisis de las ciencias europeas y la fenomenología trascendental, de 1936 (Jiménez, 2019: 83-84).

6 Como considera Klein, Platón se distancia de los pitagóricos al otorgar a las mónadas matemáticas un carácter ontológico diferente al de las cosas sensibles (1968: 69-70).

7 La atención de Klein al Fedón muestra una clara diferencia con el trabajo de Julius Stenzel sobre los números en Platón. Stenzel aboga por una evolución de los diálogos platónicos a través de un refinamiento de la dialéctica platónica que permite el desarrollo de la doctrina platónica sobre los números. Así, por ejemplo, Stenzel ve una clara evolución desde el Fedón, donde la harmonia no pinta nada, al 7imeo, donde la harmonia queda organizada desde una serie numérica (Stenzel, 1924: 39-40). Gadamer, siguiendo a Klein, también reconocerá la importancia de los números desde los diálogos tempranos (GW6: 133).

8 No vamos aquí a describir la formación "genética" de los números ideales en Platón (Klein, 1968: 90). Tampoco vamos a considerar si hay más de diez números ideales. Tanto Klein como Gadamer consideran la formación de cualquier número posible; Gadamer incluso llega a apuntar la poca importancia que Aristóteles daba a esa correlación entre los números e ideas específicas (G WO: 150).

9 Por ejemplo, la de Aristóteles (Met. М, 2, 1077a 15-18).

10 En 1938, Klein tuvo que huir de Europa por culpa del régimen nazi (Arquer, 2015: 155156). Cabe decir, como dato histórico, que fue en la casa del propio Gadamer donde Klein se refugió los últimos dos años que pasó en Alemania (Gadamer, 2010: 113).

11 El filósofo Bernat Torres Morales ha indicado como elemento clave en el desarrollo del Platón de Gadamer el énfasis que en las obras de madurez (sobre todo en La idea del Bien en la filosofía de Platón y Aristóteles) se hace sobre el carácter electivo de la dialéctica (Torres, 2012: 50, 55-56). El presente artículo pretende mostrar la existente correlación entre este desarrollo y la introducción de la estructura del arithmos.

12 En este sentido me parece que la lectura de Burt С. Hopkins es desatinada. Hopkins considera la infinitud de los discursos posibles una victoria para el /ogos (Hopkins, 2009: 19), cuando, para Gadamer, esa infinitud supone el constante desdoblamiento al que Klein refiere para considerar el fracaso del logos. La universalidad del Zogos no supone en Gadamer la existencia de una racionalidad plena, sea ella alcanzable o no para nosotros. La universalidad del logos supone la infinitud de discursos que expresan los infinitos números, esto es, la siempre parcial atención al ser de las cosas. En Gadamer el Jogos fracasa, y la incerteza que ello conlleva es la que posibilita la correlación de la teoría con la sabiduría práctica.

13 Donatella Di Cesare ha mostrado como elemento diferencial entre Heidegger y Gadamer la correlación que este último realiza entre la finitud y la infinitud. Gracias a la diada platónica Gadamer es capaz de entender desde la finitud el "más-allá", que queda reconocido como la infinita apertura hacia el otro en el diálogo (Di Cesare, 2010: 90, 92-98).

14 Katherine H. Zuckert ha indicado el valor del arithmos platónico para la fundamentación ontológica de la hermenéutica gadameriana. Con todo, su lectura atiende a dicha fundamentación desde el carácter práctico, temporal y parcial de la comprensión. Por ello, el proyecto de Gadamer por unificar los diferentes saberes desde la hermenéutica es sencillamente tildado de inexplicado (Zuckert, 2002: 205-220).