Ögrencilerin Problem Çözme ve Problem Kurma Becerilerinin Degerlendirilmesi/Assessing Students' Problem-Solving and Problem-Posing Skills

Abstract

Problem solving and problem posing are regarded as important components and objectives of the mathematics course. In this regard, problem solving process, which was defined by Polya and which is composed of four steps, and problem posing skills have been examined, and analytical evaluation of these skills have been performed in this study. The sample of the study is composed of 69 eighth grade students. Case study method, which is based on qualitative approach, has been used in the study. Six open-ended problems have been used in collecting the data. Descriptive analysis has been utilized in analysing the data. When the obtained findings have been taken into account, it has been observed that the students generally did not succeed in the three steps set forth by Polya in problem solving process (understanding the problem, devising a plan for the solution and evaluation) and problem posing step, but nonetheless, they did not have any problem in carrying out the plan after correctly determining the plan regarding the problem.

Headnote

Öz: Problem çözme ve problem kurma, matematik dersinin önemli iki bileseni ve hedefi olarak kabul edilmektedir. Bu kapsamda, çalismada, Polya'nin tanimlamis oldugu dört asamadan olusan problem çözme süreci ile problem kurma becerileri incelenmis ve bu beceriler asamali puanlama ölçegi ile degerlendirilmistir. Çalismanin katilimcilarini iki farkli ortaokulda ögrenim gören 69 sekizinci sinif ögrencisi olusturmaktadir. Çalismada, nitel yaklasima dayali olan durum çalismasi yöntemi ve verilerin toplanmasinda alti sözel problem kullanilmistir. Verilerin analizinde ise, betimsel analizden yararlanilmistir. Elde edilen bulgular dikkate alindiginda, ögrencilerin genel olarak Polya'nin problem çözme sürecinde ortaya koydugu üç asamada (problemi anlama, çözüm için plan hazirlama ve degerlendirme) ve problem kurma asamasinda yeterli olamadiklari görülmüstür. Buna karsin problemin çözümüyle ilgili plani dogru belirleyen ögrencilerin çogunun plani uygulama asamasinda zorlanmadiklari ortaya çikmistir.

Anahtar kelimeler: Problem, p roblem çözme, problem kurma

Assessing Students' Problem-Solving and Problem-Posing Skills

ABSTRACT: Problem solving and problem posing are regarded as important components and objectives of the mathematics course. In this regard, problem solving process, which was defined by Polya and which is composed of four steps, and problem posing skills have been examined, and analytical evaluation of these skills have been performed in this study. The sample of the study is composed of 69 eighth grade students. Case study method, which is based on qualitative approach, has been used in the study. Six open-ended problems have been used in collecting the data. Descriptive analysis has been utilized in analysing the data. When the obtained findings have been taken into account, it has been observed that the students generally did not succeed in the three steps set forth by Polya in problem solving process (understanding the problem, devising a plan for the solution and evaluation) and problem posing step, but nonetheless, they did not have any problem in carrying out the plan after correctly determining the plan regarding the problem.

Keywords: Problem, problem solving, problem posing

1.GIRIS

Egitim, toplumsallasmanin en önemli ögesidir. Toplumlarin gelecegi, insanlarin almis oldugu egitime bagli olup, toplumlarin kalkinmasinda egitimin katkisi hiç kuskusuz tartisilmazdir (Baki, 2003). Egitimin temel amaci, sosyal bir varlik olan bireyi hayata hazirlamak ve bireylerin gerçek yasamlarinda basariya ulasmalarini saglayacak bazi zihinsel becerileri kazandirmaktir (Çelik ve Güler, 2013). Bu becerilerden biri olan problem çözmeye özellikle ayri bir önem verilmis (Baykul ve Sulak, 2006) ve problem çözme, matematik dersinin önemli amaçlari arasinda yer almistir (Baykul, 2009).

Problem çözme, sadece matematik programinda degil, bütün derslerin amaçlari arasinda yer almistir. Bu nedenle, problem çözmenin yapisi, pek çok egitimci ve psikolog tarafindan üzerinde çalisilan bir konu olmustur (Çelik ve Güler, 2013; Dinç-Artut ve Tarim, 2009; Olkun, Sahin, Akkurt, Dikkartin ve Gülbagci, 2009; Sevim, 2015). Problem çözme, sosyal bir aktivite olup (Koray ve Azar, 2008), bir sorunun çözümlenebilmesi için yeni çözüm yollari aramayi gerektirir (Korkut, 2002). Problem çözme, sadece bir matematik probleminin sonucunu bulmak degil, yeni durumlarla karsi karsiya gelmek ve bu durumlara ise yarar çözümler bulmak anlamina gelmektedir (Gail, 1996).

Günlük yasamda bireyler, pek çok problemle karsi karsiya gelmektedirler (Karasar, 2005). Bu problemlerle basa çikabilmek için de, bireylerin problem çözme becerilerinin gelistirilmesi gerekir. Çünkü problem çözme becerisi, zihinsel düsünmeyi hareketlendirir ve buna bagli olarak bireylerin zihinsel gelisimi artar (Brown, 2003; Giganti, 2004; Manuel, 1998; Martinez, 1998; Naser, 2008; Willoughby, 1985). Problem çözme sürecinde, ögrencilerin matematik bilgisi sorgulanabilmekte ve problem çözme becerileri hakkinda yorum yapilabilmektedir. Ayrica, matematiksel bilgiyi anlama ve bu bilgiler arasindaki iliskiyi olusturma problem çözme sürecinde meydana gelmektedir (Swings ve Peterson, 1998). Dolayisiyla, problem çözme becerisine sahip olan ögrencilerin ayni zamanda matematik dersinin genelinde de basarili olmasi beklenmektedir (Özsoy, 2005). Bu dogrultuda, problem çözme becerisi, bireylerin karsilastiklari problemler karsisinda etkili çözümler üretebilmeleri (Öztürk ve Ayvaz, 2010) ve matematik dersinde basarili olabilmeleri için sahip olmalari gereken bir yetenektir (Ülküer, 1988). Ancak literatür, problem çözme sürecinde ögrencilerin çogunun zorluklarla karsi karsiya kaldiklarini, problem çözme becerilerinin istenilen düzeyde olmadigini (Karatas ve Güven, 2004; Soylu ve Soylu, 2006) ve gerçek durumla ilgili problemleri çözmede sikinti yasadiklarini göstermektedir (Harskamp ve Suhre, 2006). Bu sikintilarin nedeni olarak, ögrencilerin matematiksel kavramdan, mantiksal düsünmeden ve stratejik bilgiden yoksun olmalari söylenebilir. Eger ögrencilerin problem çözme süreçleri, bu dogrultuda degerlendirilirse, hem ögrencilerin matematik bilgisi hakkinda, hem de ögretim programina yön verebilecek ipucu niteliginde bilgiler elde edilmis olacaktir. Fakat problem çözmenin degerlendirilmesi kolay bir is degildir. Bazi ögrenciler yanlis bir mantikla dogru bir cevabi bulurken, bazilari ise mükemmel stratejiler kullanmalarina ragmen sonuca ulasamazlar (Karatas, 2002).

Problem çözme sürecinde problemin sonucunun dogrulugu önemlidir ancak seçilen çözüm yolu, problemi çözerken ögrencinin zihninde neler düsündügü ve problemi anlamasi, problemin çözümüyle ilgili düsündügü stratejiler de çok önemlidir (Özsoy, 2002). Bu nedenle problem çözme süreci, sadece sonuca ulasma becerisi olarak bilinmemelidir (Karatas, 2002).

Ögrencilerin problem çözme becerilerini degerlendirirken, ögrencilere yaptiklari hatalarin, düstükleri yanilgilarin problem çözme sürecinin hangi asamasinda (problemi anlama, plan yapma, plani uygulama, degerlendirme) olduguna iliskin geri bildirim verilmesi çok önemlidir. Ancak, matematik ögretmenlerinin çogu, ögrencilere matematiksel problemlerin çözümünü ögretmek için denklem kurma gibi standart çözüm yöntemleri kullanmaktadirlar (Harskamp ve Suhre, 2006). Birgin ve Baki (2007), çalismalarinda ögretmenlerin derslerinde çogunlukla geleneksel yöntemleri kullandiklarini ve ögrencilerin problem çözme adimlarinin üzerinde yeterince durarak degerlendirmediklerini ifade etmislerdir. Bu nedenle, ögretmenlerin geleneksel degerlendirme yaklasimi disinda, alternatif degerlendirme yaklasimlarini kullanmalari (Karatas ve Güven, 2003; Naser, 2008) ve ögrencilerin problem çözme becerilerini çoktan seçmeli ya da objektif testlerle ölçmemeleri gerektigi önerilmektedir (Calfee, 1995'ten akt. Kyriakides ve Gagatsis, 2003). Ilgili literatür incelendiginde, ülkemizde ögrencilerin problem çözme becerilerinin modelleme (Olkun vd., 2009), klinik mülakat (Gökkurt ve Soylu, 2013), isbirlikli ögrenme (Sevim, 2015) gibi farkli yönt emlerle degerlendirildigi görülmektedir. Buna karsin, asamali puanlama anahtari (analitik puanlama anahtari) ile Polya'nin problem çözme adimlarini inceleyen az sayida çalismaya rastlandigi ve bu çalismalarin da altinci sinif (Özmen-Hizarcioglu, 2013) ve birinci sinif (Kasap, 2008) ögrencilerine uygulandigi görülmektedir.

Bu çalismalarda ayrica ögrencilerin problem kurma becerilerinin dikkate alinmadigi görülmektedir. Oysa problem kurma, problem çözme gibi matematik programlarinin önemli bir bileseni olarak görülmekte ve matematiksel etkinliklerin merkezinde yer almaktadir (Brown ve Walter, 1983; Crespo, 2003; National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 2000). Problem kurma becerisi ögrencilerin, problem çözme ve muhakeme becerilerinin gelismesine yardimci olmaktadir (Brown ve Walter, 1983; Burton, 1999; Matz ve Leizer,1992; Richards, 1990; Silver, 1994). Ögrenciler problem kurma ile matematiksel durumlari düzgün bir sekilde yazili veya sözlü olarak ifade edebilmektedirler (Akay, Soybas ve Argün, 2006). Problem kurma becerisinin ögrencilerin problem çözme becerilerini gelistirmesi ve kavramsal anlamalarina yardimci olmasi, son yillarda problem kurmaya duyulan ilginin artmasina neden olmustur (Crespo ve Sinclair, 2008, Toluk-Uçar, 2009). Bu dogrultuda, birçok arastirmaci, problem kurma becerileri üzerine odaklanmislardir (Isik & Kar, 2015; Kar, 2014; Kar ve Isik, 2015; Kiliç, 2014). Ilkögretim matematik dersi ögretim programinda problem kurmaya yönelik kazanimlar incelendiginde de, problem çözme becerisi ile iliskilendirildigi dikkat çekmektedir (Milli Egitim Bakanligi *MEB], 2009).

Bu kapsamda, bu çalismanin amaci, sekizinci sinif ögrencilerinin alternatif degerlendirme yaklasimina dayali olan asamali puanlama ölçegi ile Polya (1997)'nin tanimlamis oldugu dört asamadan olusan (Problemi anlama, çözüm için plan hazirlama, plani uygulama, degerlendirme) problem çözme süreçlerini ve problem kurma becerilerini incelemektir. Bu amaç dogrultusunda, elde edilen veriler, ögrencilerin problem çözme sürecinde ve kurduklari problemlerde yaptiklari hatalari tespit ederek, ögretmenlerin bu hatalarin giderilmesi konusunda tedbirler almalarina ve dolayisiyla ögrencilerin problem çözme ve problem kurma becerilerinin gelisimine katki saglayacagi umulmaktadir.

2. Yöntem

Çalismada, nitel arastirma yaklasimi benimsenmistir. Nitel arastirmalar, üzerinde arastirma yapan kisilerin sahip olduklari deneyimlerden yararlanma, duygu ve düsüncelerini anlayabilme bakimindan tercih edilen bir arastirma yaklasimidir (Ekiz, 2009). Bu yaklasima dayali olan, durum çalismasi, bir veya birkaç durumu ya da olayi sinirli sayida örneklem ile her yönüyle derinlemesine inceleme olanagi sunmaktadir (Çepni, 2012). Bu çalismada, ögrencilerin problem çözme sürecindeki problemi anlama, plan yapma, plani uygulama, degerlendirme asamalari ve problem kurma asamasi detayli olarak incelendiginden bu yöntemin kullanilmasi tercih edilmistir.

2.1 Katilimcilar

Çalismanin katilimcilarini Erzurum merkezinde yer alan farkli iki ortaokulda ögrenim gören 69 sekizinci sinif (39 Kiz, 30 Erkek) ögrencisi olusturmaktadir. Katilimcilarin belirlenmesinde amaçli örnekleme yöntemi kullanilmistir. Amaçli örnekleme, zengin bilgiye sahip oldugu düsünülen durumlarin derinlemesine çalisilmasina olanak vermektedir (Yildirim ve Simsek, 2013). Çalismada ögrencilerin problem çözme ve problem kurmaya iliskin farkli bakis açilarini ortaya koymak amaciyla katilimcilarin sosyo-ekonomik yönden farkli olan iki ortaokuldan seçilmesine dikkat edilmistir. Çalismada sekizinci sinif ögrencilerinin seçilmesinin gerekçesi olarak, sekizinci sinif ögrencilerinin problem çözme ve problem kurma becerisine yönelik kazanimlari almis olmalari gösterilebilir. Çalismaya katilan ögrencilerin isimleri arastirma etigi geregi gizli tutulup, ögrenci isimlerine Ö1, Ö2, Ö3, Ö4... Ö69 seklinde kodlar verilmistir.

2.2 Veri Toplama Araçlari ve Verilerin Analizi

Bu çalisma kapsaminda, veri toplama araci olarak üç arastirmaci, sekizinci sinif ögrencilerinin düzeylerine uygun 15 sözel problem hazirlamistir. Problemlerin hazirlanmasinda ortaokul 8. sinif ders kitabi ve kaynak kitaplardan faydalanilmistir. Daha sonra bu arastirmacilar bir araya gelerek 15 problemin içerisinde benzer problemlerin olmasi nedeniyle bes problemi çikarmislardir. Bu problemlerin kapsam geçerligini saglamak için, alaninda iki uzman ve ortaokulda görev yapan bir matematik ögretmenine, içerik, seviye ve dil bakimindan danisilmis ve gerekli düzenlemelerle dört problem çikarilarak alti probleme düsürülmüstür. Bu dört problemin çikarilma nedenleri, seviye olarak uygun olmayan problemin olmasi ve uygulama için yeterli sürenin olmamasidir. Çalismanin güvenirligi ve veri toplama aracinin kullanisliligini görmek amaciyla 15 ögrenciyle pilot çalisma yapilmistir. Pilot çalisma sonunda bir ders saatinin yeterli olduguna ve problemlerin ögrenciler tarafindan anlasilir olduguna karar verilmistir. Böylece veri toplama araci, alti sözel problemden olusmustur. Tablo 1'de bu problemler yer almaktadir:

Toplam alti problem, sekizinci sinif ögrencilerine verilmis ve arastirmaci tarafindan bir ders saati süresinde uygulanmistir. Uygulama sürecinde, arastirmaci tarafindan ögrencilere detayli açiklama yapilmis ve verilen problemleri her asamayi dikkate alarak çözmeleri istenmistir. Problem kurma asamasinda da, ögrencilerden verilen problemin konusuna yönelik baska bir problem kurmalari istenmistir.

2.3 Asamali Puanlama Ölçegi

Charles, Lester ve O' Daffer (1987), problem çözme becerisini degerlendirme sürecinde kullanilan yöntemleri, gözlem ve soru sorma, kisisel verileri degerlendirme, çoktan seçmelibosluk doldurmali ve asamali puanlama olmak üzere dört kategoriye ayirmistir. Bu yöntemlerden biri olan asamali puanlama yöntemi, sistematik bir yaklasim kullanarak, problem çözme sürecinin bütününün ya da asamalarinin bir puanlama biçiminde degerlendirilmesini amaçlar. Problem çözme sürecinde her bir asama puanlandirilir (Akt. Özmen- Hizarcioglu, 2013). Bu çalismada, ögrencilerin vermis olduklari cevaplar Baki (2008)' den alinan problem çözme sürecinde kullanilan asamali puanlama ölçegi (Ek-1) ile degerlendirilmistir. Ögrencilerin problem çözme ve problem kurma sürecine ait olan davranislar ayri ayri incelendiginden, bu ölçegin kullanilmasi tercih edilmistir. Çalismada kullanilan asamali puanlama ölçegi bes kategoriden olusmaktadir. Bu bes kategorinin altinda da her bir ölçütün en yüksek ve en düsük performansini tanimlayan 0, 1, 2 ve 3 puan olmak üzere dört ölçüt yer almaktadir. Bu ölçüt dogrultusunda, yapilan puanlamanin daha iyi anlasilmasi için bir ögrencinin bir problemden alacagi maksimum ve minimum puanlar, Tablo 2'de yer almaktadir.

Tablo 2 incelendiginde, bir ögrencinin her bir problemden alabilecegi maksimum puan 3 puan, minimum puan ise 0'dir. Ögrencilerin alti sözel probleme vermis olduklari yanitlar, asamali puanlama ölçegine göre puanlandirilmis ve arastirmacilar tarafindan bu puanlama anahtarinda verilen her kategori için 3-2-1-0 arasinda puanlama yapilmistir. Bu puanlamada, ögrencilerin her asamada almis olduklari puanlar ayri ayri degerlendirilmistir. Çünkü her bir asamadan alinan puanlarin toplanmasi ve ögrencilerin aldiklari puanlarin karsilastirilmasi yaniltici olabilir. Örnegin ayni puani alan iki ögrencinin bu bes asamada 2-1-1-2-2 almasi ile 3-32-0-0 almasi farkli anlamlara gelecektir. Ilk puani alan ögrenci, degerlendirme ve problem ortaya atma asamasiyla ilgili davranisin büyük bir kismini göstermesine ragmen, ikinci puani alan ögrenci ise problemi anlama ve plan hazirlamada beklenen davranislari yerine getirmis fakat degerlendirme ve problem ortaya atmada hiçbir davranis sergileyememistir. Dolayisiyla bu iki ögrencinin degerlendirilmesinin ayni olmasi beklenemez.

Çalismanin amaci, ögrencilerin bu bes kategoriye ait davranislardan hangilerini basarili bir sekilde yerine getirdiklerini, hangilerinde zorlandiklarini tespit etmek oldugu için çalismada sadece frekans ve yüzde degerleri verilmistir. Ayrica elde edilen verilerin ayrintili resmini sunmak için ögrenci cevaplarindan dogrudan alintilar verilmistir. Çalismanin güvenirligini saglamak için ise "puanlayicilar arasi uyum" yöntemine basvurulmustur. Bu amaçla, ögrencilerin kagitlari, ölçme aracini olusturan asamali puanlama ölçegine göre üç arastirmaci tarafindan birbirinden bagimsiz puanlandirilmistir. Kodlayicilar arasi uyum yüzdesi % 89 çikmistir. Üç arastirmaci tarafindan yapilan puanlamanin birbirine yakinligi, yapilan puanlamanin tutarli olduguna isaret etmektedir. Bu arastirmacilarin birbirinden farkli yaptiklari puanlamalar için ise, alaninda uzman olan ögretim üyesine danisilmis ve böylece puanlamadaki tutarsizlik giderilmistir.

Verilerin analizinde, betimsel analiz teknigi kullanilmistir. Betimsel analiz, daha önceden belirlenen temalara göre özetlenir ve yorumlanir (Yildirim ve Simsek, 2013). Bu çalismada, asamali puanlama ölçeginde yer alan ölçütler kategori olarak ele alindigindan bu teknigin kullanilmasi uygun görülmüstür.

3. BULGULAR

Arastirmanin bulgulari, sekizinci sinif ögrencilerinin alti sözel probleme yaptiklari yazili açiklamalardan elde edilmistir. Bu dogrultuda, ögrencilerin problem çözme sürecinin her asamasi ile problem kurma asamasinda aldiklari puanlara ait bulgular asagida tablolar halinde sunulmaktadir.

Tablo 3'ten ögrencilerin %41'inin problemi tam olarak anladiklari, %32'sinin ise problemin bir kismini anladiklari görülmektedir. Buna karsin ögrencilerin % 28'i ise problemi ya anlayamamis veya anlamak için herhangi bir çaba göstermemistir. Bu soru ile ilgili plan hazirlama basamagi için ögrencilerin % 41'i uygun bir stratejiyi belirlerken, % 58'i ise ya dogru bir strateji belirleyememis ya da herhangi bir strateji belirlemek için herhangi bir çaba göstermemistir. Plani uygulama basamaginda ise ögrencilerin % 41 uygun ve dogru sonuca ulasirken, % 59'u ise uygun ve dogru bir sonuca ulasamamislardir. Plani hazirlama basamagindaki oranlar ile genelde islemsel bilginin agirlikta oldugu plani uygulama basamagindaki oranlarin paralellik gösterdigi görülmektedir. Degerlendirme basamaginda ögrencilerin büyük bir çogunlugunun (% 75) degerlendirme yapmada problem yasadiklari görülmektedir. Problem çözme becerisinde önemli bir yer tutan problem kurma basamaginda ögrencilerin % 19'u mantikli ve çözülebilir bir problem yazarken, % 19'u ise verilen problemin degerlerini degistirerek yeni bir problem olusturmustur. Buna karsin ögrencilerin yaridan fazlasi (% 62) ise problem kurma basamaginda basarili olamamislardir. Bu bulgulardan özellikle degerlendirme ve problem kurma sürecinde, ögrencilerin performanslarinin oldukça düsük oldugu söylenebilir. Problem kurma asamasinda ögrencilerin büyük bir çogunlugu, mantik hatasi yapmislardir. Bu hata ile ilgili Ö69 adli ögrencinin cevabi sekil 1'de verilmistir.

Sekil 1 incelendiginde, Ö69'un kurdugu problemde ögrencinin yazmis oldugu problemdeki sira sayisinin eksi çiktigi ve dolayisiyla çözümü olmayan bir problem kurdugu görülmektedir. Bu sonuç dogrultusunda, Ö69 'un problemi kurarken ögrenci sayisini ve sira sayisini düsünmeden sayilari rastgele seçtigi söylenebilir.

Tablo 4'e göre ögrencilerin %33'ü problemi tam olarak anlamis, dörtte biri (%25) ise problemin bir parçasini anlamistir. Buna karsin, ögrencilerin % 42'si problemi ya anlayamamis ya da problem cümlesinin anlasilmasi için herhangi bir çaba göstermemistir. Tablo 4 incelendiginde, elde edilen önemli bulgulardan biri de problemi tam olarak anlayamayan iki ögrencinin problemde plan hazirlama ve plani uygulama asamasinda basarili olmasidir. Bununla ilgili olarak iki ögrenciden birinin cevabi Sekil 2'de aynen verilmistir.

Sekil 2 incelendiginde, Ö2'nin problemi tam olarak anlamamasina ragmen, problem için mantiksal akil yürütme stratejini seçtigi ve seçtigi stratejiyi de dogru kullandigi görülmektedir. Çünkü Ö2, yapmis oldugu çözümde, Eren ve Serdar'in arasindaki yas farkinin 9 oldugundan yola çikarak, bu yas farkini bugünkü yaslari toplamindan çikarmistir. Böylece yasi daha küçük olan Serdar'in yasinin iki katini elde etmistir. Daha sonra buldugu sonucu ikiye bölerek Serdar'in yasini bulmus ve bu sonuca 9 ekleyerek Eren' in yasini dogru bulmustur. Böylece dogru sonuç olan 35'i bulmustur. Ö2, problemin çözümünü dogru yapmasina karsin, problemi anlama asamasinda yazdigi açiklamada Eren ve Serdar'in 4 ve 5 yil sonraki yaslarinin toplamindan bahsetmesi, problemi tam olarak anlamadigini göstermektedir. Çünkü problemde verilen Eren'in 4 yil önceki yasinin, Serdar'in 5 yil sonraki yasina esit olmasidir. Ö2'nin buldugu sonucu kontrol edememesi ve bu probleme benzer dogru bir problem kuramamasi bu görüsü destekler niteliktedir. Ö2, problem kurma asamasinda ise, çözümü olmayan bir problem yazmistir ve yazmis oldugu problemde eksik bilgi vardir. Sekil 3'te verilen alinti bunu en iyi sekilde temsil etmektedir.

Sekil 3 incelendiginde, Ö2'nin yazmis oldugu problemde, Enes'in ve Ahmet'in yaslarinin toplamini bulmak için, problem ifadesinde herhangi bir sayisal deger vermedigi görülmektedir.

Tablo 4 incelendiginde, plani hazirlama basamagindaki oranlar ile plani uygulama basamagindaki oranlarin birbirine yakin oldugu görülmektedir. Buradan problemin çözümü için dogru stratejiyi seçen bir ögrencinin problemi dogru çözdügü söylenebilir. Ögrencilerin büyük bir çogunlugu (%81), problemin nasil dogrulanacagi hakkinda bir fikri yokken %19'u sonuçlari mantiksal olarak dogrulamistir. Problem kurma basamaginda ise ögrencilerin dörtte birinden azi (%13) mantikli ve çözülebilen bir problem cümlesi kurmuslar, %10'u problemde verilen sayisal verileri degistirerek yeni bir problem kurmuslardir. Buna karsin ögrencilerin çogu (%77), yeni bir problem cümlesi olusturma konusunda istenilen sekilde performans gösterememislerdir. Bu ögrencilerden bazilari verilen problemdeki isimleri degistirdiklerinde yeni bir problem kurduklarini düsünmüslerdir. Bununla ilgili olarak Ö22 adli ögrencinin cevabi Sekil 4'te verilmistir.

Sekil 4 incelendiginde, Ö22'nin verilen "Eren'in 4 yil önceki yasi, Serdar'in 5 yil sonraki yasina esittir. Eren ile Serdar'in simdiki yaslari toplami 61 olduguna göre Eren'in simdiki yasi kaçtir?" ifadesinde sadece Eren'in yerine Enes yazdigi görülmektedir. Bu bulguya dayali olarak, Ö22'nin yeni bir problem kurma çabasi içine girmedigi ve problem kurma becerisine sahip olmadigi söylenebilir.

Tablo 5 incelendiginde ögrencilerin %17'sinin problemi tam olarak anladigi, %16'sinin ise problemin bir parçasini anladigi görülmektedir. Ayrica bu asamada ögrencilerin yaridan fazlasi (%67), problemi anlamada basarisiz olmustur. Ögrencilerin %31'i problemin çözümü için uygun çözüme ulasacak bir strateji belirlerken, ögrencilerin %68'i bu problemin çözümü için ya uygun olmayan bir strateji seçmis ya da herhangi bir strateji seçememislerdir. Plani uygulama basamaginda ögrencilerin %29'u dogru bir çözüm yapabilmisken, %67'si ise dogru çözümü yapamamistir. Birinci ve ikinci sorulardaki bulgulardan elde edilen verilerde oldugu gibi bu soruda da plani hazirlama basamagi ile plani uygulama basamagindaki oranlarin paralellik gösterdigi görülmektedir. Yani problemin çözümü için uygun strateji belirleyen ögrencilerin çogu, strateji de dogru uygulayabilmislerdir. Asagida verilen ögrencinin cevabi bu durumu en iyi sekilde örneklendirmektedir.

Ö25 'in çözümü incelendiginde, mantiksal akil yürütme stratejisini seçerek 1 kisilik, 2 kisilik ve 3 kisilik davetiyelerden en az bir tane olmasi gerektigi için 33'ten önce 3'ü çikardigi, sonra da 1'i çikardigi görülmektedir. Problemde 2 kisilik davetiye sayisini en fazla istedigi için ve sonuç da ikiye bölünebilen sayi çikmadigi için ögrenci tekrar 1'i çikarmis ve 2 kisilik davetiye sayisinin en fazla degerini bulmustur.

Tablo 5 incelendiginde, diger iki problemde oldugu gibi ögrencilerin büyük bir çogunlugu (%94), degerlendirme basamaginda istenilen performansi gösterememistir. Problem kurma basamaginda ise ögrencilerin %4'ü mantikli ve çözülebilir bir problem olustururken, %16'si ise verilen problem cümlesindeki degerleri degistirerek yeni bir problem olusturmustur.

Tablo 6'ya göre çok az sayida ögrenci (%7) problemi tam olarak anlamisken, ögrencilerin %22'si problemin bir parçasini anlamistir. Buna karsin ögrencilerin %71'i gibi büyük bir çogunlugun problemi anlayamadiklari görülmüstür. Plani hazirlama basamaginda ise ögrencilerin %12'si uygun çözüme ulasacak bir stratejiyi dogru belirlerken %76'si ise çözüme ulasacak stratejiyi belirleyememislerdir. Islemsel bilginin agirlikta oldugu plani uygulama basamaginda ise ögrencilerin sadece %13'ü basarili performans göstermistir. %81'i ise plani uygulama basamaginda beklenen performansi gösterememislerdir. Diger üç problemde oldugu gibi bu problemde de plan hazirlama ve plani uygulama basamagindaki oranlarin birbirine yakin oldugu görülmektedir.

Yine Tablo 6'daki verilere göre, ikinci ve üçüncü problemde oldugu gibi problemi tam olarak ifade edemeyen üç ögrencinin problemi anlamamasina ragmen, dogru yöntemi uyguladigi görülmektedir. Bu bulgular neticesinde, bu üç ögrencinin problemin çözümündeki islemleri ezberledikleri ya da bu islemlerin altinda yatan mantiksal gerekçeyi bilmeden yaptiklari söylenebilir. Problemi anlamada ögrencilerin yaptigi hatalardan biri "problemden ne anladiginizi yaziniz" sorusuna problemi hiç degistirmeden oldugu gibi yazmalaridir. Yani ögrencilerin problemi aynen yazmanin problemin anlasildigi anlamina geldigini düsündükleri söylenebilir. Bu hata ile ilgili Ö24 adli ögrencinin cevabi Sekil 6'da verilmistir.

Degerlendirme basamaginda ise diger problemlerde oldugu gibi ögrencilerin büyük bir çogunlugunun düsük performans gösterdikleri görülmektedir. Problem kurma asamasinda ise ögrencilerin büyük bir çogunlugu (% 81), ya mantik hatasi yaparak ya da herhangi bir islem yapmayarak bu asamada istenilen sekilde cevap verememislerdir.

Tablo 7'den ögrencilerin yaridan fazlasi (% 63) problemi ya anlayamamis veya anlamak için herhangi bir çaba göstermemistir. Bu problemle ilgili plani hazirlama asamasinda ise, ögrencilerin % 31'i stratejiyi belirlemede basarili performans göstermisken, % 65'i bu asamada düsük performans göstermislerdir. Plani uygulama basamaginda ise ögrencilerin % 32'si uygun ve dogru sonuca ulasirken % 64'ü uygun ve dogru bir sonuca ulasamamislardir.

Bu problemle ilgili ögrencilerin çözümleri incelendiginde, Ö36 problemi tam olarak anlamamis ve çözümde kitap fiyatini yanlis almistir. Buna ragmen Ö36, problemin dogru cevabini bulmustur. Ö36, "Ali, Zeynep ve Sena'nin almak istedigi kitap; Ali'nin parasindan 10 tl, Zeynep'in parasindan 8 tl ve Sena'nin parasindan 12 tl fazladir. Ali'nin 20 tl'si varsa üçünün paralari toplami kaç tl'dir?" problem ifadesinde geçen kitabin fiyatinin Ali, Zeynep ve Sena'nin parasindan fazla olmasinin aksine az oldugunu algilamis ve kitabin fiyatini 30tl yerine 10 tl almistir. Problemde kitap fiyati yerine Ali, Sena ve Zeynep'in paralari toplami sorulmus ve Ö36 dogru cevabi bulmustur. Sekil 7'de verilen ögrencinin cevabi bunu en iyi sekilde temsil etmektedir.

Sekil 7 incelendiginde aslinda Ö36, problem için denklem kurma stratejisini seçerek uygun strateji düsünmüstür. Ancak Ö36 çözümde x= 20+10 almasi gerekirken kitabin fiyatini Ali'nin, Zeynep'in ve Sena'nin paralarindan daha az düsündügü için çözümde x+10=20 alarak stratejiyi yanlis kullanmistir. Dolayisiyla Ö36, Zeynep ve Sena'nin paralarini da yanlis bulmustur. Oysa problemin dogru çözümünde, Zeynep'in parasi 22, Sena'nin parasi 18 tl olmasi gerekirdi. Ancak toplamda ikisinin paralari toplami degismedigi için Ö36 problemin dogru sonucuna ulasmistir. Ö36, degerlendirme asamasinda da, mantikli bir yol seçmis, sonucun dogrulugunu göstermek için kitap fiyati ile Ali, Sena ve Zeynep'in paralari arasindaki iliskiyi göstermeye çalismistir. Ancak buldugu degerler dogru olmadigi için, istenilen performansi yerine getirememistir. Sekil 8'deki alinti bu durumu en iyi sekilde örneklendirmektedir.

Sekil 8 incelendiginde, Ö36'nin kurdugu denklem hatali olmasina ragmen, islemi dogru yaptigi görülmektedir. Buradan Ö36'nin islemsel bilgisinin iyi oldugu ancak kavramsal anlamada sikinti yasadigi görülmektedir. Diger ögrencilerin yazili cevaplari dikkate alindiginda da ögrencilerin neredeyse tamamina yakininin islemsel olarak zorluk yasamadiklari ancak mantiksal olarak problemi anlamakta zorlandiklari görülmektedir.

Tablo 8 incelendiginde ögrencilerin %19'unun problemi anlama basamaginda performanslarinin yeterli olduklari görülmektedir. Ancak ögrencilerin % 65'inin problem cümlesini anlamada sorun yasadiklari görülmektedir. Diger bes problemde oldugu gibi altinci problemde de plan hazirlama ve plani uygulama basamagindaki oranlarin birbirine yakin oldugu görülmektedir. Plani hazirlama basamaginda ögrencilerin %30'u problemin çözümü için uygun bir strateji seçmisken, plani uygulama asamasinda ögrencilerin %29'u dogru bir sonuca ulasmistir. Plani uygulama asamasinin yüzdesinin, plani hazirlama asamasindan düsük çikmasinin sebebi olarak, bir ögrencinin seçtigi stratejiyi uygulamada zorluk yasamasidir. Ö41 'in cevabi bunu açikça göstermektedir.

Sekil 9 incelendiginde, Ö41'in denklem kurma stratejisini seçerek problemin çözümü için uygun bir strateji seçtigi görülmektedir. Ancak denklemde (-3) ile 7 'yi çarpmadigi için esitligin sagindaki sayiyi yanlis bulmus ve islemini devamini getirememistir. Dolayisiyla problemin dogru sonucuna ulasamamistir.

Degerlendirme basamaginda ise ögrencilerin büyük çogunlugunun (%83) düsük performans gösterdikleri görülmektedir. Problem çözme sürecinin en üst seviyesi olan problem kurma sürecinde ise ögrencilerin diger problemlerde oldugu gibi büyük bir çogunlugunun (%81) düsük performans gösterdikleri görülmektedir.

4. SONUÇLAR, TARTISMA VE ÖNERILER

Bu çalismada, sekizinci sinif ögrencilerinin alti sözel probleme yaptiklari yazili açiklamalari incelenmis ve ögrencilerin problem çözme ve problem kurma becerileri incelenmistir. Yapilan analiz sonucunda, ögrencilerin en yüksek performansi problemi anlama, plani hazirlama ve plani uygulama asamasinda gösterdikleri, en düsük performansi ise degerlendirme asamasinda gösterdikleri görülmüstür. Benzer sekilde, Deringöl (2006), ögrencilerin, Polya'nin problem çözme asamalarindan en yüksek puan ortalamasini problemi anlama basamagindan, en düsük puan ortalamasini ise çözümün degerlendirilmesi basamagindan aldiklarini ortaya çikarmistir. Bu asamalardan plan hazirlama ve plani uygulama asamalarinda ögrenci yüzdelerinin çok yakin oldugu ve dolayisiyla bu iki asamadaki performanslarinin çok yakin oldugu görülmüstür. Diger bir ifadeyle plani hazirlama basamaginda yüksek performans gösteren ögrencilerin büyük bir çogunlugunun (%98) islemsel bilginin agirlikta oldugu plani uygulama basamaginda problem yasamadiklari görülmektedir.

Ögrencilerin problemlere vermis olduklari yazili cevaplari incelendiginde, problemde (dogru veya yanlis) denklem kuran ögrencilerin çogu, yaptiklari islemlerin sonucuna ulasmis ve islemleri dogru yapmislardir. Bu sonuca dayali olarak; ögrencilerin islemsel bilginin agirlikta oldugu asamalarda pek fazla problem yasamadiklari söylenebilir. Ancak çalismada denklemi dogru kuran ve islem hatasi yapan ögrencilere de az da olsa rastlanmistir. Çalismadan elde edilen bulgulara dayali olarak; ögrencilerin çogunlukla problemi anlama, degerlendirme ve problem kurma asamalarinda zorluk yasadiklari görülmüstür. Benzer sekilde Karatas ve Güven (2003), problemin yeteri kadar anlasilmamasindan dolayi ögrencilerin problem çözme sürecinde hata yaptiklarini ifade etmistir. Mayer (1992)'e göre, problem çözme sürecinde karsilasilan zorluklar, çözüm sürecindeki hatalardan (denklem çözme asamasi) daha çok problemin yetersiz tanimlanmasindan (problemi anlama ve plan hazirlama asamasi) kaynaklanmaktadir.

Çalismanin ilgi çekici sonuçlarindan biri de, problemi tam olarak anlamayan bazi ögrencilerin dogru çözüm yapmasi ve problemin dogru sonucuna ulasmasidir. Bu durumun nedeni olarak, ögrencilerin düsünmeden önce problemi çözmek istemeleri gösterilebilir. Çünkü Yoshida, Verschaffel ve De Corte (1997)'ye göre ögrenciler, problemde verilen sayilari kullanarak aritmetik islem yapma egiliminde olup islemsel bilgiye agirlik vermektedirler (Akt. Çelik ve Güler, 2013). Diger bir olasi neden ise, ögrencinin verilen probleme benzer problem çözüm yöntemlerini ezberlemesi ve islemler yaparak tesadüf olarak dogru sonuca ulasmasi olabilir.

Ögrencilerin sorulan bazi problemleri tam olarak anlamadan dogru çözmeleri, ögretmenlerin ögrencileri degerlendirme asamasinda da zorluk yasamalarina sebep olabilmektedir. Çünkü ögrenciler çoktan seçmeli bir testle degerlendirildigi takdirde, problemi anlamamasina ragmen, dogru sonuca ulasan ögrenci tam puan alacak ve problemi anlayarak çözen ögrenci ile ayni sekilde degerlendirilecektir ya da problemi tam olarak anlayan, uygun yöntem seçen ancak çözümde islem hatasi yapan ögrenciden daha yüksek puan alacaktir. Ayrica bu duruma bagli olarak, ögretmen problemi anlamadan dogru çözen ögrencinin eksikliklerinin farkinda olmayacak ve ögrencinin problem çözme becerisine sahip oldugunu düsünecektir. Bu dogrultuda, ögrencilerin problem çözme becerileri degerlendirilirken problemin her asamasi dikkate alinmalidir. Ayrica, ögrencilerin problemlerin çözüm yöntemlerini ezberlemelerini ve problemde verilen sayisal degerlerle düsünmeden islem yapmalarini engellemek için, ögretmenlerin derslerinde benzer problemler yaninda gerçek yasam problemleri gibi farkli problem örneklerine de yer vermeleri önerilir. Ögretmenlerin, ögrencilerin sadece çözümleri üzerinde degil, problemi anlama asamasinda durmalari, ögrencilerin problemi dogru anlayip anlamadiklarina iliskin uygulamalar yapmalari önerilir.

Elde edilen bulgular dikkate alindiginda, ögrencilerin en düsük performansi degerlendirme asamasinda gösterdikleri görülmüstür. Oysa ögrenciler degerlendirme basamagini etkili bir sekilde kullanirlarsa, yapmis olduklari hatalarin farkina varabilirler. Karatas ve Güven (2004), çalismasinda problemin çözüm asamasinda hata yapan ögrencilerin degerlendirme asamasinda uygun strateji ve beceri kullandiklarindan hatalarinin farkina vardiklarini ifade etmislerdir. Bu kapsamda, ögretmenler, derslerinde ögrencilerin problem çözme sürecinde degerlendirme basamagini etkili bir sekilde kullanabilmeleri için ögrencilere yapmis olduklari çözümler üzerinde düsünme firsati vermelidirler. Ögretmenler, ögrencilerine problemin çözümünde bulduklari degerlerin ne anlama geldigini ve yapmis olduklari islemlerin altinda yatan mantiksal gerekçeyi sorgulatmalidir.

Ögrencilerin vermis olduklari yanitlar incelendiginde, ögrencilerin problem kurma becerilerinin de istenilen düzeyde olmadigi görülmüstür. Ögrencilerin çogu, ya verilen problemde sayisal degerleri degistirerek problemi aynen yazmis ya da çözümü olmayan mantiksiz problemler kurmustur. Bu kapsamda, ögrencilerin problem kurma becerilerini gelistirmek için derslerde problem kurmaya iliskin uygulamalar yaptirilmali, ögrencilerin problem kurma sürecinde yaptiklari hatalar üzerinde durularak bu hatalarin giderilmesi konusunda ögrencilere geri dönütler verilmelidir.

Özet olarak; çalismada ögrencilerin çogunun Polya (1973 , 1977)'nin problem çözme asamalarindan özellikle iki asamasi (problemi anlama ve degerlendirme) ile problem kurma asamasinda beklenen performansi gösteremedikleri görülmüstür. Bu dogrultuda, ögretmenlere, ögrencilerin hem problem çözme becerilerinin (ögrencilerin problemi anlamasi ve çözümü degerlendirmesi), hem de problem kurma becerilerinin gelisimine yönelik derslerinde etkinlikler yaptirmalari, ögrencilerin problem çözme sürecinde ve problem kurmada yaptiklari hatalari tespit ederek bu hatalar üzerine tartisma ortamlari olusturmalari önerilebilir.

Bu çalisma, ögrencilerin sekizinci sinif ögrencilerinin yazili cevaplariyla sinirlidir. Bu alanda çalisma yapacak olan arastirmacilara, ögrencilerin problem çözme ve problem kurma sürecinde gözlem ve klinik mülakat yaparak daha detayli bilgi toplamalari ve ögrencilerin problem çözme ve kurma becerilerinin gelisimine yönelik çalismalar yapmalari önerilir.

Sidebar

SUMMARY

Purpose

Problem solving and problem posing are regarded as important components and objectives of mathematics course. Understanding mathematical information and forming the relationship among such pieces of information occur in the problem solving process. Problem solving skills activate mental thinking. Thus, mental development of the individuals increases. Moreover, it provides contribution to the individuals for developing cognitive strategy in mathematics instruction. On the other hand, students develop their problem solving and reasoning skills with problem posing, and they can express mathematical cases in writing and orally in a proper way. In this regard, problem solving process, which was defined by Polya and which is composed of four steps, and problem posing skills have been examined, and analytical evaluation of these skills have been aimed in this study.

Method

The sample of the study is composed of 69 eighth grade students. Case study method, which is based on qualitative approach, has been used in the study. Six open-ended problems have been used in collecting the data. Descriptive analysis has been utilized in analysing the data. Answers given by the students to the six open-ended questions have been evaluated with analytical scoring key which was taken from Baki (2008) and which could be used in problem solving process.

Results

According to the data obtained from the study, the students experienced difficulty in problem solving steps and problem posing. In this regard, it has been found out that the success rates of the students in problem solving steps (understanding the problem, devising a plan and evaluation) and problem posing were lower than 42%. It is observed that these rates were even much lower in evaluation and problem posing steps (9.4% in evaluation; 25% in problem posing). Although students experienced problems in all steps, it is seen that these problems are more apparent in evaluation and problem posing steps. When other steps are examined, it is observed that success rates of the students in the steps of devising a plan and carrying out the plan show parallelism (40% in devising a plan; 40.5% in carrying out the plan). That is to say, 98% of the students, who correctly determined the plan regarding the problem, succeeded in carrying out the plan.

Discussion and Conclusion

In view of the analytical evaluation conducted in the scope of this study, it has been observed that the students got the highest score average in the step of understanding the problem although the success rate in this step was 41.6%. In this regard, it can be stated that the students are not at a desired level in problem solving process, which was defined by Polya, and problem posing. Especially when the success rates of the students in the steps of evaluation and problem posing are taken into account (9.4% in evaluation; 25% in problem posing), it is understood how insufficient the students are in using these steps. When the steps of devising a plan and carrying out the plan are examined, it is seen that the score averages of the students are very close to each other. In this context, it is observed that a great majority of the students, who were successful in the step of devising a plan that mainly involves conceptual knowledge, did not experience any problem in the step of carrying out the plan in which operational knowledge is predominant. When written explanations given in reply to the problems by the students have been examined, it has been observed that many of the students, who correctly formed the equation that represented the problem, reached the correct result whereas many of the students, who were not able to correctly form the equation, did not succeed. It can be stated that inadequately defining the problem (the steps of understanding the problem and devising a plan) is the primary one among the reasons for this failure.

References

KAYNAKÇA

Akay, H., Soybas, D. ve Argün, Z. (2006). Problem kurma deneyimleri ve matematik ögretiminde açik uçlu sorularin kullanimi. Kastamonu Egitim Dergisi, 14(1), 129-146.

Baki, A. (2003). Okul Matematigine ne ögretelim? Matematikçiler Bülteni, 2, 13-16.

Baki, A. (2008). Kuramdan uygulamaya matematik egitimi. Ankara: Harf Yayinlari.

Baykul, Y. (2009). Ortaokulda matematik ögretimi (5-8. Siniflar) (2. Baski). Ankara: Pegem Akademi

Baykul, Y. ve Sulak, S. (2006). Problem çözme stratejilerinin ilkögretimde problem çözme basarisina etkisi. Ulusal Sinif Ögretmenligi Kongresi Bildiri Kitabi, Ankara.

Birgin, O. ve Baki, A. (2007). The use of portfolio to assess students performance. Journal of Turkish Science Education, 4(2), 75-90.

Brown, S. I. ve Walter, M. I. (1983). The art of problem posing. London: Lawrence Erlbaum

Brown, N. M. (2003). A study of elementary teachers' abilities, attitudes, and beliefs about problem solving. Dissertation Abstracts International, 64(10), 3620. (UMI No. 3108818).

Burton, L. (1999). The practices of mathematicians: What do they tell us about coming to know mathematics? Educational Studies in Mathematics, 37(2), 121-143.

Crespo, S. (2003). Learning to pose matematical problems: Exploring changes in preservice teachers' practices. Educational Studies in Mathematics, 52, 243-270.

Crespo, S. ve Sinclair, N. (2008). What makes a problem mathematically interesting? Inviting prospective teachers to pose better problems. Journal Mathematics Teacher Education, 11, 395-415.

Çelik, D. ve Güler, M. (2013). Ilkögretim 6. sinif ögrencilerinin gerçek yasam problemlerini çözme becerilerinin incelenmesi. Dicle Üniversitesi Ziya Gökalp Egitim Fakültesi Dergisi, 20, 180-195.

Çepni, S. (2012). Arastirma ve proje çalismalarina giris (6 Baski). Trabzon: Celepler Matbaacilik.

Deringöl, Y. (2006).Ilkögretimde matematik problem çözmeyi ögretmede yeni yaklasimlar. Yayimlanmamis yüksek lisans tezi, Istanbul Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü, Istanbul.

Dinç-Artut, P. ve Tarim, K. (2009). Ögretmen adaylarinin rutin olmayan sözel problemleri çözme süreçlerinin incelenmesi. Uludag Üniversitesi Egitim Fakültesi dergisi 22(1), 53- 70.

Ekiz, D. (2009). Arastirma Yöntemleri (2. Baski). Ankara: Ani Yayincilik.

Ersoy, Y. (2003). Teknoloji destekli matematik egitimi-1: Gelismeler, politikalar ve stratejiler , ilkögretim-online, 2 (1), http://ilkögretim-online.org.tr.

Gail, M. (1996). Problem solving about problem solving: framing a research agenda. Proceedings of the Annual National Educational Computing Conference, Minnesota, 17, 255-261.

Giganti, P. (2004). Mathematical problem solving. Book Links, 14, 15-17.

Gökkurt, B. & Soylu, Y. (2013). Ögrencilerin problem çözme sürecinde anlam bilgisini kullanma düzeyleri. Kastamonu Egitim Dergisi, 21(2), 469-488.

Harskamp, E. G., ve Suhre, C. J. M. (2006). Improving mathematical problem solving: a computerized approach. Computers in Human Behavior, 22(5), 801-815. doi: DOI 10.1016/j.chb.2004.03.023.

Isik, C.ve Kar, T. (2015). Altinci sinif ögrencilerinin kesirlerle ilgili açik-uçlu sözel hikayeye yönelik kurduklari problemlerin incelenmesi. Türk Bilgisayar ve Matematik Egitimi Dergisi, 6(2), 230-249.

Karasar, N. (2005). Bilimsel arastirma yöntemi: kavramlar, ilkeler ve teknikler. Ankara: Nobel Yayincilik.

Kar, T. (2014). Ortaokul matematik ögretmenlerinin ögretim için problem kurma bilgisinin incelenmesi: kesirlerle toplama islemi örnegi. Yayimlanmamis doktora tezi, Atatürk Üniversitesi Egitim Bilimleri Enstitüsü, Erzurum.

Kar, T. ve Isik, C. (2015). Ilkögretim matematik ögretmenlerinin ögrencilerin kurduklari problemlere yönelik görüslerinin incelenmesi: kesirlerle toplama islemi. Hacettepe Üniversitesi Egitim Fakültesi Dergisi, 30(1), 122-136.

Karatas, I. (2002). 8.sinif ögrencilerinin problem çözme sürecinde kullanilan bilgi türlerini kullanma düzeyleri. Yayimlanmamis yüksek lisans tezi, Karadeniz Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Trabzon.

Karatas, I. ve Güven, B. (2003). 8. sinif ögrencilerinin problem çözme sürecinde kullandigi bilgi türlerinin analizi. Matematikçiler Dernegi Bilim Kösesi. [www. matder.org.tr.]

Karatas, I. ve Güven, B. (2004). 8. sinif ögrencilerinin problem çözme becerilerinin belirlenmesi: Bir özel durum çalismasi, Milli Egitim Dergisi, 163.

Kasap, Y. (2008). Dereceli puanlama anahtari ve puanlama anahtarindan elde edilen puanlarin karsilastirilmasi. Yayimlanmamis yüksek lisans tezi, Hacettepe Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü, Ankara.

Kiliç, Ç. (2014). Sinif ögretmenlerinin problem kurmayi algilayis biçimlerinin belirlenmesi. Kastamonu Egitim Dergisi, 22(1), 203-214.

Koray, Ö. ve Azar, A. (2008). Ortaögretim ögrencilerinin problem çözme ve mantiksal düsünme becerilerinin cinsiyet ve seçilen alan açisindan incelenmesi. Kastamonu Egitim Dergisi, 16(1), 125-136.

Korkut, F. (2002). Lise ögrencilerinin problem çözme becerileri. Hacettepe Üniversitesi Egitim Fakültesi Dergisi, 22, 177-184.

Kyriakides, L. ve Gagatsis, A. (2003). Assessing student problem-solving skills. Structural Equation Modeling, 10(4), 609-621.

Manuel, S. T. (1998). Instructional qualities of a successful mathematical problem solving class. International Journal of Mathematics Education in Science and Technology, 29(5), 631- 645.

Martinez, M. E. (1998). What is problem solving? Phi Delta Kappan, 79 (8), 605-609.

Matz, K.ve Leier, C. (1992). Word problems and the language connection. Aritmetic Teacher, 39(8),14-17.

Mayer, R. E. (1982) The psychology of mathematical problem solving. In F.K. Lester ve Garofalo(Eds), Mathematical problem solving: Issues in research (pp. 1-13). Philadelpia:Franklin Institute Press.

Milli Egitim Bakanligi *MEB], (2009). Ilkögretim matematik dersi ögretim programi ve kilavuzu. Ankara: Devlet Kitaplari Müdürlügü.

Naser, T. (2008). Problem çözme becerilerini degerlendirmede alternatif yöntemler ve ilkögretim matematikte örnek uygulama. Yayimlanmamis yüksek lisans tezi, Yüzüncü Yil Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Van.

National Council f Teachers of Mathematics [NCTM]. (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston.

Olkun, S., Sahin, Ö., Akkurt, Z., Dikkartin, F. T. ve Gülbagci, H. (2009). Modelleme yoluyla problem çözme ve genelleme: ilkögretim ögrencileriyle bir çalisma. Egitim ve Bilim, 34(151), 65-73.

Özmen-Hizarcioglu, B. (2013). Problem çözme sürecinde dereceli puanlama anahtari (rubrik) kullaniminda puanlayici uyumunun incelenmesi. Yayimlanmamis yüksek lisans tezi, Abant Izzet Baysal Üniversitesi, Egitim Bilimleri Enstitüsü, Bolu.

Özsoy, G. (2002). Ilkögretim 5. sinifta matematik dersi genel basarisi ile problem çözme becerisi arasindaki iliski. Yayimlanmamis Yüksek lisans tezi, Gazi Üniversitesi Egitim Bilimleri Enstitüsü, Ankara.

Özsoy, G. (2005). Problem çözme becerisi ile matematik basarisi arasindaki iliski. Gazi Egitim Fakültesi Dergisi, 25(3), 179-190.

Öztürk, E. ve Ayvaz, A. (2010, Mayis ). Ilkögretim 5. Sinif ögrencilerinin problem çözme becerilerine yönelik algi düzeyleri ile Türkçe, Matematik, Sosyal Bilgiler, Fen ve Teknoloji derslerindeki basarilari arasindaki iliskinin incelenmesi, 9. Ulusal Sinif Ögretmenligi Egitimi Sempozyumu içinde (s.738-742), Elazig.

Polya, G. (1973). How to Solve it. Princeton, NJ: Princeton University Press.

Polya, G.(1997). Nasil Çözmeli? Matematikte yeni bir boyut.(Çev: F. Halatçi). Istanbul: Sistem Yayincilik. (Orijinal çalisma basim tarihi 1990).

Richards, L.(1990). Measuring things in words: language for learning mathematics .Language Arts, 67(1), 14-25.

Sevim, O. (2015). Konu jigsawi (birlestirme) tekniginin ortaokul yedinci sinif ögrencilerinin basari ve problem çözme becerilerine etkisi. Egitim ve Bilim ,40(177), 385-400.

Silver, E. (1994). On mathematical problem posing. For the Learning of Mathematics, 14(1), 19-28.

Soylu, Y. ve Soylu, C. (2006). Matematik derslerinde basariya giden yolda problem çözmenin rolü. Egitim Fakültesi Dergisi, 7(11), 97-111.

Swing, S. ve Peterson, P. (1998) Elaborative and integrative thought process in Mathematics learning. Journal of Educational Psychology 80, 54-66.

Toluk-Uçar, Z. (2009). Developing pre-service teachers understanding of fractions through problem posing. Teaching and Teacher Education, 25(1), 166-175.

Umay, A. (2004). Matematik egitiminde yenilik. Matematikçiler Dernegi Bilim Kösesi. www.matder.org.tr.

Ülküer, N.S. (1988). Çocuklara problem çözme becerisi nasil kazandirilir? Yasadikça Egitim, 5, 28-31.

Willoughby, S. S. (1985). How to teach mathematical problem-solving. Educational Leadership, 42(7), 90-91.

Yildirim, A. ve Simsek, H. (2013). Sosyal bilimlerde nitel arastirma yöntemleri (9. Baski). Ankara: Seçkin Yayincilik.