Ögretmen Adaylarinin Matematiksel Örnekleri Algilayislari Üzerine Bir Metafor Analizi/A Metaphor Analysis on Preservice Teachers' Conception of Mathematical Examples

Abstract

Examples are one of the important tools used in mathematics teaching. However, there isn't any research which grasps how preservice teachers perceive the mathematical examples or what they think about the purpose of examples which were given by teachers or students. Conception of preservice teachers on examples can give clues about the use of examples in their future profession. To reveal the opinions of preservice teachers whether examples can be generated by students, is important to ensure that teacher training programs place emphasize on this issue. So, the purpose of the study is to investigate the preservice teachers' conception of different kinds of mathematical examples and examples given by teachers or generated by students with metaphor analysis. Participants of the study consist of 190 preservice mathematics teachers. Data collection tool is included four uncompleted sentences in the form: "Visual examples in mathematics are like..., becaus..."; "algebraic examples in mathematics are like..., because..."; "Examples given by teacher in mathematics are like..., because......"; "Examples given by students in mathematics are like..., because...". Participants are asked to complete these sentences. Obtained data were analyzed by using content analysis. To ensure the reliability of the data interviews were conducted with 11 of participants, so classification and thematization of metaphors were checked. In addition, through the interviews in-depth information was obtained on perceptions of preservice teachers with respect to mathematical examples.

Headnote

Öz: Örnekler, matematik ögretiminde kullamlan önemli araçlardan biridir. Ancak yapilan araçtirmalar incelendiginde, matematik ögretmen adaylarinin, farkli türdeki matematiksel örnekleri nasil algiladigi, ögretmen ve ögrenci tarafindan verilen örneklerin hangi amaçlara hizmet ettigine dair bir araçtirmaya rastlanmamiçtir. Ögretmen adaylarinin matematiksel örnekleri algilayi? biçimleri, ilerideki mesleki hayatlarinda matematiksel örnekleri nasil kullanacaklari hakkinda fikir verebilir. Bu nedenle bu çaliçmanin amaci, matematik ögretmen adaylarinin farkli tür matematiksel örnekler ile ögretmen ve ögrenci tarafindan verilen örnekleri nasil algiladiklarini metafor analizi ile incelemektir. Çaliçmanin katilimcilarini 190 matematik ögretmen adayi oluçturmaktadir. Veri toplama aracinda katilimcilardan; "Matematikteki görsel örnekler... gibidir, çünkü..." ; "Matematikteki cebirsel örnekler... gibidir, çünkü..." ; "Matematik dersinde ögretmenin verdigi örnekler gibidir, çünkü."; "Matematik dersinde ögrencinin verdigi örnekler... gibidir, çünkü." ifadelerini tamamlamalari istenmi? ve elde edilen veriler içerik analizine tabi tutulmuçtur. Çaliçmadan elde edilen verilerin güvenirligini saglamak amaciyla 11 katilimci ile yari yapilandirilmi? görüjme yapilmi§tir. Ayrica görüjmeler yoluyla ögretmen adaylarinin örnekleri algilayi? biçimlerine iliçkin derinlemesine veri elde edilmi§tir.

Anahtar Kelimeler: matematiksel örnekler, metafor analizi, ögretmen adaylari

A Metaphor Analysis on Preservice Teachers' Conception of Mathematical Examples

Abstract: Examples are one of the important tools used in mathematics teaching. However, there isn't any research which grasps how preservice teachers perceive the mathematical examples or what they think about the purpose of examples which were given by teachers or students. Conception of preservice teachers on examples can give clues about the use of examples in their future profession. To reveal the opinions of preservice teachers whether examples can be generated by students, is important to ensure that teacher training programs place emphasize on this issue. So, the purpose of the study is to investigate the preservice teachers' conception of different kinds of mathematical examples and examples given by teachers or generated by students with metaphor analysis. Participants of the study consist of 190 preservice mathematics teachers. Data collection tool is included four uncompleted sentences in the form: "Visual examples in mathematics are like..., becaus..."; "algebraic examples in mathematics are like..., because..."; "Examples given by teacher in mathematics are like..., because......"; "Examples given by students in mathematics are like..., because...". Participants are asked to complete these sentences. Obtained data were analyzed by using content analysis. To ensure the reliability of the data interviews were conducted with 11 of participants, so classification and thematization of metaphors were checked. In addition, through the interviews in-depth information was obtained on perceptions of preservice teachers with respect to mathematical examples.

Key Words: Mathematical examples, metaphor analysis, preservice teachers

1. GÍRͧ

1.1 Matematiksel Örnekler

Örnekler hangi alanda olursa olsun, pedagojik açidan egitim faaliyetlerinin vazgeçilmezleri arasindadir. Matematik özelinde düçünüldügünde örnekler, özellikle genelleme, soyutlama ve analojik düçünmede (Zodik ve Zaslavsky, 2009) önemli bir role sahiptir. Bu rolün en önemli özelligi birçok araçtirmaci (örn. Peled & Zaslavsky, 1997) tarafindan da belirtildigi gibi ögretmen ve ögrenci arasinda bir iletiçim araci olmasidir. Özellikle matematiksel kavramlarin ögretiminde örneklerden yararlanmak, matematik ögretiminin ayrilmaz bir parçasidir (Abdul-Rahman, 2005). Çünkü örnekler, hem iyi bir açiklamanin temel unsuru hem de iyi bir ögretim için yapi taçidir (Leinhart, 2001). Örneklerin bu özelliginden yola çikararak hem ögrenciler hem de ögretmenler matematiksel örnekleri farkli anlamlarda (açiklama, motivasyon, sezgi oluçturma vb.) kullanabilmektedirler. Bunun en büyük nedeni, örneklerin matematik ögretiminde geniç bir kullanim alaninin var olmasidir. Bu nedenle örneklerin kullanimi ile ilgili olarak yapilacak ilk ayrimlardan biri, bir kavramin örnegi (üçgenler, polinomlar vb.) ile bir prosedürün uygulanmasinin örnegidir (bir üçgenin alaninin bulunmasi, bir polinomun köklerinin bulunmasi) (Bills, Dreyfus, Mason, Tsamir, Watson, Zaslavsky, 2006). Bills ve digerleri (2006) bu ikincisi için yeni bir ayrim daha yapmaktadir: Ögretmen, bir ders kitabi yazari ya da bir programa tarafindan, bir prosedürün uygulandigi, çogunlukla bir takim açiklamalar ve yorumlar içeren, "çaliçilmiç örnekler" (worked examples) ve ögrencilerin tamamlamasi için ayarlanmiç "aliçtirmalar". Aslinda pek çok araçtirmaci matematiksel örneklerin bir takim özelliklerini göz önünde bulundurarak farkli gruplamalar yapmiçlardir. Sinif içinde kullanim amacina göre baçlangiç örnekleri (bir konu için motivasyon ve baçlangiç amaciyla kullanilan), referans örnekler (bilgilendirmek ve sezgi oluçturmak için), model veya genel örnekler (bir kavramin veya bir prosedürün örnegi), ters örnekler (bir sava karçi çikmak için verilen bir örnek, bir prosedürün örnegi veya bir kanitin parçasi) , örnek olmayan durumlar (ayrimlari ortaya çikarmak veya bir kavram için temel olan ve olmayan özellikler arasindaki farklara dikkat çekmek yani sinirlari belirginleçtirmek için verilen örnekler); özel, yari genel ve genel örnekler (örneklerin açiklama güçlerine göre) gibi kategoriler belirlenmiçtir (Zaskis ve Leikin, 2008; Michener, 1978; Goldenberg ve Mason, 2008; Bills ve digerleri, 2006; Peled ve Zaslavsky, 1997). Her ne kadar bu çekilde siniflamalar yapilsa da herhangi bir gruba giren bir örnegi digerlerinden kesin çizgilerle ayirmak mümkün degildir. Bazen bir siniflamadaki bir örnegi, farkli özelliklerden yararlanilarak baçka bir siniflamaya yerleçtirmemiz de mümkün olabilmektedir.

Örneklerin sinif içinde farkli amaçlarda kullaniliyor oluçu ve farkli özelliklere sahip oluçu ögretmenlerin ve ögrencilerin örneklere yönelik algilarinda da farkliliklar oluçmasina neden olabilmektedir. Örneklerin gösterimleri ve ögretmenlerin, ögrencilerin dikkatini istenen noktaya toplamalarina yardimci olmaya çaliçmasi, aslinda ögrenenlerin neyi fark ettigine ve çogunlukla onlarin matematiksel anlamalarina baglidir (Bills ve digerleri, 2006). Bu da genellikle ögrenenlerin matematikle ilgili önceki deneyimleriyle çekillenmektedir. Skemp (1971) bu durumun özel bir halini parazit (noise) kavramiyla açiklamaktadir. Bu kavram kisaca ögretmenin bir örnekte ögrencilere anlatmak istedigi özellik diçinda, ögrencinin dikkatini çeken ve anlatilmak istenen durum için önemli olmayan özellikleri ifade etmektedir. Bu nedenle, ögretmenler örnekleri sinif içinde kullanirken dikkatli olmak zorundadirlar.

Zaslavsky (2010) örneklerin sinif içinde kullanimi sirasinda, bir diger önemli faktörün gösterim olduguna, bir parabol denkleminin üç farkli sunumuyla dikkat çekmektedir. (i) y = (x + 1)(x - 3) ; (ii) y = (x - 1)2 - 4; (iii) y = x2 - 2x - 3 örneklerinde oldugu gibi üç farkli formatta verilen ikinci dereceden bir fonksiyonun her bir yaziminda bazi özellikler görünür hale gelmekte (kökler, tepe noktasi ve fonksiyonun grafiginin y-eksenin kestigi nokta) bazi özellikler gizlenmektedir. Sadece cebirsel olarak farkli biçimde verilen bir örnegin gösterimiyle oluçan ögretimsel farkliliklar, gösterimlerin de degiçmesiyle (görsel veya cebirsel gibi) farkli boyutlar kazanabilir. Dolayisiyla ögretmen bu gösterimlerden hangisini kullanacagina karar verirken bunlari göz önünde bulundurmasi gerekmektedir. Örneklerin seçimi ve ele aliç biçimi ögrencilerin ögrenmesini zorlaçtirma ve kolaylaçtirma potansiyeline sahip oldugundan, bu durum ögretmenlere ugraçtirici bir sorumluluk vermekte ve örneklerin birçok özelligini düçündürmeyi gerektirmektedir (Zaslavsky ve Zodik, 2007). Ancak ögretmenlerin sinif içinde kullandiklari örnekleri seçerken buna ne kadar dikkat ettigi ile ilgili bir araçtirma henüz yapilmamiçtir. Bunun yaninda ögretmenlerin örnekleri ele aliç biçimi onlarin matematiksel ve pedagojik bilgileri hakkinda da bilgi vermektedir (Zodik ve Zaslavsky, 2009). Görüldügü gibi örnekler, matematik ögrenmekte ve ögretmekte oldukça kritik bir role sahiptir. Buna ragmen, ögretmenlerin (dolayisiyla ögretmen adaylarinin) örnekleri ele aliç biçimleri üzerine sinirli sayida araçtirma bulunmaktadir (Zaslavsky, 2010).

1.2 Metafor

Metafor, bir bireyin soyut, karmaçik veya kuramsal bir olguyu anlamada ve açiklamada kullandigi güçlü bir zihinsel yapi olarak açiklanmaktadir (Saban, Koçbeker ve Saban, 2006). Baçka bir deyiçle metafor somut, daha tanidik ve görülebilir çeylerle soyut çeyler arasinda kurulan mecazi bag olarak da açiklanabilir (Saban, 2004). Bu baglamda metaforlar bir baçlangiç veya kaynak alandan (bizim için tanidik olan) bir nihai veya hedef alana (bizim için yeni veya soyut olan) kavramsal bir iliçki kurarlar (Font, Bolite ve Acevedo, 2010). 'Matematik bir merdivendir' metaforunda oldugu gibi daha soyut bir kavram olan matematik daha somut olan bir kavramla iliçkilendirilerek ifade edilmiçtir. Bu metaforda kurulan iliçkide, matematigin yigilmali bir bilim dali oldugu, en temel kavramlarla baçlanarak daha karmaçik kavramlara ilerlenebilecegi sonucu çikarilabilir. Ancak farkli kiçiler tarafindan farkli baglantilar kurulabilir. Bu noktada kiçilerin bakiç açilari önem kazanmaktadir. Yani bize bir terimin bir boyutunu digerine göre kavrama imkani veren sistematiklik, kavramin diger boyutunu zorunlu olarak gizler ve dolayisiyla kavramin bir boyutu üzerine odaklanma imkani veren metaforik kavram, bizi kavramin bu metaforlarla uyuçmayan diger boyutlari üzerinde odaklanmaktan alikoyabilir (Lakoff ve Johnson, 2015). Aslinda metaforlar tek yönlü ve sistemik olarak ifade edilebilir ve tek yönlü metaforlarda baglanti tek çekilde kurulurken, sistemik metaforlar, hedef alanini kaynak alan türünden anlamamizin bir sonucu olarak bizim yeni sistemler kurmamizi saglar (Font, Bolite ve Acevedo, 2010).

Insanin düçünme süreci büyük ö^üde metaforiktir (Lakoff ve Johnson, 2015). Kavramsal metafor teorisi aslinda nasil düçündügümüzü anlama yönünde yapilan bir giriçimdir ve temelinde beynimizin çekillendirilmiç bir yapiya sahip olmasi vardir (Aubry, 2009). Yani olaylar hakkindaki düçüncelerimiz, daha önce yaçadigimiz deneyimler, içinde bulundugumuz kültürün etkisiyle çekillenen beynimizden gelmektedir (Aubry, 2009). Egitimde de dâhil olmak üzere diger bilim alanlarinda çaliçan araçtirmacilar veya uygulama alaninda çaliçanlar farkinda olmadan alanlarinda ortaya çikan metaforik örüntüler ve imgeler tarafindan yönlendirilmektedir (Martinez, Sauleda ve Huber, 2001). Genel olarak egitim alaninda metaforlarla ilgili yapilan araçtirmalar incelendiginde en çok ögrenme-ögretme, ögrenciögretmen, okul gibi kavramlarinin farkli gruplardaki (ögretmen, ögretmen adayi) metaforik algilarinin incelendigi gözlenmektedir (örnegin, Saban, 2009; Leavy, McSorley ve Bote, 2007; Martinez, Sauleda ve Huber, 2001; Bullough, 1991, Cerit, 2006; Güler, Ôçal ve Akgün, 2011 ).

Metaforlar farkli duyular arasinda iliçkiler kurduklarindan insanlara, matematiksel kavramlar için anlamlar oluçturmada da gereklidir (Font, Bolite ve Acevedo, 2010). Bu nedenle matematik egitiminde yapilan çaliçmalarda metaforlar siklikla kullanilmaktadir ( örn. Chapman, 1997; Font, Bolite ve Acevedo, 2010; Font, Godino, Planas ve Acevedo, 2010; Uygun, Gökkurt, Usta, 2016). Font, Bolite ve Acevedo (2010) fonksiyonlarin grafiksel gösteriminin ögretimi sürecinde ögretmenlerin kullandigi metaforlari incelemiçlerdir. Baçka bir araçtirmada ise Ju ve Kwon (2004) ögrencilerin diferensiyel denklemlere iliçkin kavramsal modellerinin belirlemek için metaforlarin ögrenciler tarafindan nasil kullanildigi, metaforlarin karakteristikleri ve metafor kullanimlarindaki örüntüleri araçtirmiçlardir. Lakoff ve Núñez (2010) matematik baglaminda iki tür kavramsal metafordan bahsetmektedir (akt. Font, Bolite ve Acevedo, 2010;): Temel metaforlar ve baglanti metaforlari. Temel metaforlar matematik içindeki bir kavrami matematik diçindaki bir kavram ile iliçkilendirirken, baglanti metaforlari, iliçkilendirmeyi matematik içinde sürdürür ve matematik içindeki özellikleri birbiri ile degiçtirir.

Ögretmen egitimi programlarinin en önemli amaçlarindan biri ögretmen adaylarini alanlarinda gerekli olan bilgi ve becerilerle donatmaktir. Ancak bunu yaparken farkinda olunmasi gereken noktalardan biri ögretmen adaylarinin da tipki diger ögrenciler gibi siniflara farkli deneyimlerle geldigidir. Dolayisiyla ögretmen adaylarina ögretmenlik becerilere kazandirilmak istenirken var olan varsayimlari, deneyimleri ve algilarinin ortaya çikarilmasi gerekmektedir. Bu baglamda metaforlar, açik veya bilinçli olmayan bir çekilde sahip olunan fikirler hakkinda iç görü saglayacak uyum ve iç tutarliliga sahiptir (Leavy, McSorley ve Bote, 2007).

Bu çaliçmanin amaci ögretmen adaylarinin matematiksel örnekler kapsaminda sahip olduklari metaforlari belirleyerek sinifta örnek kullanimina iliçkin algilarini ortaya çikarmaktir. Daha önce birçok çaliçmada (örn. Thompson 1992; Saglam, 2014) belirtildigi gibi ögretmenlerin sahip olduklari duyuçsal özellikler, inaniçlar, deneyimler ve algilar onlarin sinif içi etkinliklerini etkileme potansiyeline sahiptir. Dolayisiyla ögretmen adaylarinin bu tür özelliklerinin ortaya çikarilmasi, ögretmen egitimi programlarinin içeriginin degiçen çartlar dogrultusunda yeniden düzenlenmesi için firsat oluçturacaktir.

2.YÖNTEM

Bu araçtirma var olan durumu oldugu gibi betimlemeye yönelik betimsel bir çaliçmadir. Betimsel araçtirmalarda, bireylerin çaliçilan kavram ya da duruma iliçkin olarak tutum veya davraniçlarinin açiga çikarilmasi amaçlanir (Creswell, 2008).

2.1. Çali$ma Grubu

Çaliçmanin katilimcilarini bir devlet üniversitenin bir (13 katilimci), iki (19 katilimci), üç (78 katilimci), dört (63 katilimci) ve beçinci (17 katilimci) sinifinda ögrenim görmekte olan 190 matematik ögretmen adaylari oluçturmaktadir.

2.2. Veri Toplama Araçlari ve Verilerin Analizi

Çaliçmada veri toplamak amaciyla kullanilan envanterde katilimcilardan; "Matematikteki görsel örnekler. gibidir, çünkü ..." , "Matematikteki cebirsel örnekler... gibidir, çünkü ." , "Matematik dersinde ögretmenin verdigi örnekler. gibidir, çünkü." , "Matematik dersinde ögrencinin verdigi örnekler... gibidir, çünkü." ifadelerini tamamlamalari istenmiçtir. Ögretmen adaylarinin farkli tür matematiksel örnekler hakkindaki görü§lerini belirlemek amaci ile ürettikleri metaforlar içerik analizi ile analiz edilmiçtir. Verilerin analizi için sirasiyla açagidaki adimlar izlenmiçtir.

1.Adlandirma Açamasi: Ögretmen adaylari tarafindan üretilen metaforlarin geçici bir listesi yapilmiçtir.

2.Tasnif Etme ve Eleme Açamasi: Bu açamada, "metafor analizi" (Moser, 2000) ve içerik analizi teknikleri kullanilarak, her metafor parçalarina ayriçtirilmiç ve diger metaforlarla olan benzerlikleri veya ortak özellikleri bakimindan analiz edilmiçtir. Elde edilen verilerde, tamamlanmamij bölümleri olan veya metafor ifade etmeyen cümleler (ögretmenin verdigi örnek anlamlandirici gibidir; çünkü kavram yanilgisina düjmemizi engeller gibi) analize dahil edilmemijtir.

3.Kategori Gelijtirme Ajamasi: Bu ajamada metaforlar, bireysel metafor ifadelerinden yola çikilarak sahip olduklari ortak özellikleri bakimindan kavramsal kategoriler altinda toplanmijtir. Herhangi bir temayla uymayan aykiri metaforlar ise bagimsiz metafor kategorisinde degerlendirilmij ve bunlarin sayilari her bir bajlik için ayrica belirlenmijtir.

"Toplanan verilerin ayrintili olarak rapor edilmesi ve arajtirmacilarin sonuçlara nasil ulajtiklarini ayrintili olarak açiklamasi nitel bir arajtirmada geçerligin önemli ôlçütleri arasinda yer almaktadir." (Yildirim ve §imjek, 2005, s. 257). Bu nedenle çalijmanin her bir ajamasi ayrintili bir jekilde rapor edilmijtir. Makalenin (iç) güvenirliginin kontrolü için, öncelikle elde edilen verilerin %25'i farkli bir arajtirmaci tarafindan tekrar kodlanmijtir. Kodlayicilar arasi güvenirlik için tekrar kodlanmasi gereken veri, tüm veri setinin %10'undan az olmamalidir (Nuendorf, 2002). Tekrar kodlanan veriler için SPSS 22 paket programi kullanilarak Cohen's Kappa katsayisi hesaplanmij ve 0,75 bulunmujtur. Güvenirligin 0,70 ve üzeri olmasi kodlamanin güvenilir oldugunun bir göstergesidir (Miles ve Huberman, 1994). Bunun yaninda metaforlarin belirlenmesi, kategorilerin olujturulmasi ajamasi için katilimcilardan 11 tanesi ile görüjme yapilmijtir. Görüjmeler, öncelikle metaforlarin arajtirmaci tarafindan uygun jekilde kategorilendirilmesinde kullanilmijtir. Ayrica bu görüjmeler sirasinda ögretmen adaylarinin örnekleri sinif içinde nasil ve hangi amaçla kullanmayi planladigi sorulmuj, ögretmenlerin ve ögrencilerin verdigi örneklerin kavramsal anlama ve ögrenilenlerin kaliciligi anlaminda degerlendirmeleri istenmij böylece hem metafor analizi ile elde edilen veriler desteklenmij hem de çalijmanin amaçlarindan biri olan örneklerin algilama jekilleri daha net bir jekilde ortaya çikarilmijtir. Görüjmeler sirasinda ses kaydi alinmij, elde edilen veriler yazili metne dönüjtürülmüj ve içerik analizi kullanilarak analiz edilmijtir.

3. BULGULAR

Veri toplama aracinda yer alan ve ögretmen adaylari tarafindan tamamlanmasi beklenen cümlelerden elde edilen veriler görsel örnek, cebirsel örnek, ögretmenin verdigi örnek ve ögrencinin verdigi örnek bajliklari altinda incelenmijtir. Her bir bajlik için 10'un altinda metafordan olujan alt bajliklar tek bir bajlik altinda toplanmijtir. Temalarin siralaniji, barindirdigi metafor sayisina göre çoktan aza dogrudur. Görüjmeler sirasinda ögretmen adaylarinin örnekleri sinif içinde kullanimlarina yönelik görüjleri ayri bir bajlik altinda incelenmijtir.

3.1 Görsel Örnekler

Çalijmanin bu bölümünü ögretmen adaylarinin veri toplama aracinin birinci sorusu olan "Matematikteki görsel örnekler... gibidir; çünkü..." cümlesinin tamamlayarak olujturduklari verilerin analizi olujturmaktadir. Ögretmen adaylarinin belirtilen cümleyi tamamlamasiyla olujturulan kodlar yedi tema altinda toplanmaktadir.

Soyut kavramlan somutla§tmr: Bu tema altinda 79 kod toplanmijtir. Ögretmen adaylari görsel örneklerin, matematikteki soyut kavramlarin ögrenciler tarafindan somutlajtirilmasina katkisi oldugunu belirtmijlerdir. Bu sayede soyut kavramlarin ne ije yaradiginin daha net anlajildigi ya da anlatildiginda anlajilmayan kavramlarin görsel olarak verildiginde daha iyi anlajilabilecegini düjünmektedirler. Bu tema altinda toplanan kodlardan en çok tekrar edenlere örnek olarak resim (15 defa), model (5), harita (5) verilebilir. Ögretmen adaylarinin yazdiklari cümlelerden bazi örnekler ajagidaki gibidir.

"Matematikteki görsel örnekler resim gibidir, çünkü anlatilanlari görsel olarak betimler'

"Matematikteki görsel örnekler harita gibidir, çünkü yolu daha iyi kafamizda canlandirmamiz için haritaya bakmamiz gerekir"

"Matematikteki görsel örnekler deney gibidir, çünkü hayal edemedigi §eyleri görerek zihninde daha iyi oturtmasini saglar"

Matematigi zevkli hale getirir: Bu tema altinda 28 kod toplanmiçtir. Ögretmen adaylari görsel örnekler sayesinde matematigin daha zevkli hale geldigini düçünmektedir. Bu tema altinda toplanan bazi kodlar §eker (2), meyve (2), karnaval (2) çeklindedir. Ögretmen adaylarinin düçüncelerini belirttigi bazi cümleler ise §öyledir:

"Matematikteki görsel örnekler yemek baharati gibidir, çünkü baharat yemegin lezzetlenmesini saglar, görsel örneklerde konunun tadini, i§levselligini ortaya çikararak konunun i§tah verici olmasini saglar"

"Matematikteki görsel örnekler çayin çekeri gibidir, çünkü çeker olmadiginda çay tatsiz ve anlamsizdir, çekerle daha tüketilebilir bir hal alir"

"Matematikteki görsel örnekler renkler gibidir, çünkü matematikte görsellik olmazsa kuru ve zevksiz kalir. Renklerin hayati zenginleçtirmesi gibi görsel örnekler de matematigi zenginleçtirir."

Konuyu anlamamizi kolaylaçtirir: Bu tema altinda 24 kod toplanmiçtir. Ögretmen adaylari görsel örnekler sayesinde ögrenilen konularin daha kolay anlaçildigini düçünmektedir. Bazen tek bir görselin anlatilmak isteneni vermek için yeterli olabilecegini belirtmiçlerdir. Verilen metaforlardan bazilari ilaç (3), ayna (3), tablo'dur (3). Bu metaforlari oluçturan örnek cümleler açagidaki gibidir.

"Matematikteki görsel örnekler i?ik gibidir, çünkü ögrencinin konuyu anlamasini saglar"

"Matematikteki görsel örnekler tablo gibidir, çünkü anlatilmak istenen birçok ?ey bazen tek bir görsel örnekle anlatilabilir"

"Matematikteki görsel örnekler grafik çizimleri gibidir, çünkü bazi §eyleri anlamak zor olabiliyor. Grafikleçtirmenin anlamayi kolaylaçtirmasi gibi görsel örnekler de daha iyi anlaçilmayi sagliyor"

Hatirlamak kolaydir (akilda kalicidir): Bu tema altinda 22 kod bulunmaktadir. Ögretmen adaylari, görsel örneklerin öne çikan özelliklerinden biri olarak akilda kalici olmasini belirtmiçlerdir. Bu tema altinda verilen metaforlardan bazilari fotograf (3), film (2), oyun'dur. Ögretmen adaylarinin tamamladiklari cümle örnekleri açagidaki gibidir.

"Matematikteki görsel örnekler yag lekesi gibidir, çünkü daha kalicidir, unutulmasi daha zordur"

"Matematikteki görsel örnekler çimentodaki ayak izi gibidir, çünkü kolay kolay kaybolmaz, kalicidir"

"Matematikteki görsel örnekler en sevdigim kitap gibidir, çünkü konusunu ismini asla unutmam"

Dikkat çekicidir: Bu tema altinda 13 kod toplanmiçtir. Ögretmen adaylari görselligin en önemli boyutlarindan biri olan bu özelligi diger özelliklere göre daha az vurgulamiçlardir. Bu tema altinda verilen metaforlardan bazilari gökku§agi (2), havai fiçek'tir. Bu metaforlarin örnek cümleleri ise;

"Matematikteki görsel örnekler havai fi§ek gibidir, çünkü ögrencinin ögrencilerin dikkatini çeker"

"Matematikteki görsel örnekler gökkujagi gibidir, çünkü ilgi çekicidir"

"Matematikteki görsel örnekler çiçek gibidir, çünkü ilgi çekici ve rengârenktir"

Matematige çe§itlilik ve farkli baki§ açisi katar: Bu tema altinda 10 kod toplanmiçtir. Ögretmen adaylari bu çekilde verilen örneklerin matematik içinde farkli bir bakiç açisi oluçturacagini düçünmektedir. Bu temada kullanilan metaforlardan bazilari açagidaki gibidir.

"Matematikteki görsel örnekler orman gibidir, çünkü içinde birçok çeçitlilik bulunur"

"Matematikteki görsel örnekler doga gibidir, çünkü içinde bir sürü canli bulundurur"

"Matematikteki görsel örnekler tablo gibidir, çünkü ona baktiginda degi§ik baki§ açilari ortaya çikar"

Konuyu anlamayi zorla§tirir: Bu tema altinda 9 kod toplanmiçtir. Görselle§tirme ile ilgili literatür incelendiginde görsel düçünmenin en çok eleçtirilen özelliklerinden biri yaniltici olmasi, sinirli bilgiye izin vermesi ve dolayisiyla konuyu anlamayi zorlaçtirmasidir. Buna ragmen görsel örneklerin bu özelligi sadece dokuz metafor ile ortaya çikmiçtir. Bu tema altinda toplanan metaforlara iliçkin örnek cümleler açagidaki gibidir.

"Matematikteki görsel örnekler dalga gibidir, çünkü sonsuz sayida dalga varken biz sadece sinirli bir alandaki dalgalara bakariz"

"Matematikteki görsel örnekler rüya gibidir, çünkü rüyanin sonunu bazen göremeyiz, görsel örneklerde görmek istedigimiz §eyi her zaman göstermez"

"Matematikteki görsel örnekler tablo gibidir, çünkü farkli §ekillerde yorumlanabilirler"

11 metafor ise herhangi bir tema altina yerleçtirilememiçtir.

3.2 Cebirsel Örnekler

Çaliçmanin bu bölümünü, ögretmen adaylarinin veri toplama aracinin ikinci sorusu olan "Matematikteki cebirsel örnekler... gibidir; çünkü..." cümlesini tamamlayarak oluçturduklari verilerin analizi oluçturmaktadir. Ögretmen adaylarinin belirtilen cümleyi tamamlamasiyla oluçturulan kodlar yedi tema altinda toplanmaktadir.

Anla§ilmasi zordur/çaba gerektirir: Ögretmen adaylari cebirsel örnekleri anlaçilmasinin zor oldugunu, anlayabilmek için üzerinde çaliçilmasi ve çaba harcanmasi gerektigini vurgulamiçlardir. Bu durum kendini bu tema altinda toplanan 60 kod ile göstermi§tir. Bu tema için kullanilan bazi metaforlar bulmaca (6), dügüm (4), labirent'tir (2).

"Matematikteki cebirsel örnekler karabasan gibidir, çünkü çogu zaman anlaçilmaz, ania^iisa bile bir yerde mutlaka sorun yaçanir."

"Matematikteki cebirsel örnekler labirent gibidir, çünkü dogru yolu bulamazsan çikiça ulaçamazsin. insani hatirlamaya, bildiklerini yapip uygulamaya sevk eder"

"Matematikteki cebirsel örnekler zor bir dans figürü gibidir, çünkü bunu yapmak deneyim, beceri, hâkimiyet ve özgüven gerektirir. Cebirsel örnekleri çôzmek de böyledir"

Konunun anla§ilmasrni/peki§tirilmesini saglar: Bu tema altinda 45 kod toplanmiçtir. Katilimcilar tarafindan zor ve karmaçik bulunan cebirsel örnekler anlaçildigi takdirde konunun daha iyi anlaçilmasina katki sagladigi belirtilmiçtir. Bu tema altinda verilen metaforlara örnek olarak yol levhasi (2), el feneri (2), yapboz parçasi (2) verilebilir.

"Matematikteki cebirsel örnekler (kiyafete) uygun çanta gibidir, çünkü çantalarin kiyafetleri tamamlamasi gibi cebirsel örnekler de konuyu tamamlar."

"Matematikteki cebirsel örnekler yapboz parçasi gibidir, çünkü cebirsel örnekler olmadan konuyu anlamak mümkün degildir"

"Matematikteki cebirsel örnekler yemege atilan son baharat gibidir, çünkü dogru zamanda atilan baharatin yemegi lezzetlendirmesi gibi dogru zamanda verilen cebirsel örnek konuyu anlamayi saglar"

Matematigin temelini olu§turur: Bu temada belirtilen metaforlar ile ögretmen adaylari cebirsel örneklerin matematigin temelini oluçturdugunu ve hatta matematigin olmazsa olmazi oldugunu belirtmiçlerdir. Su (7), besin (2) gibi 25 metafordan oluçan bu temayi çekillendiren cümlelerden bazilari açagidaki gibidir.

"Matematikteki cebirsel örnekler harfler gibidir, çünkü matematigi ögrenmek için önce cebirsel örnekleri ögrenmek gerekir, okumayi ögrenmek için harfleri ögrenmek gibi"

"Matematikteki cebirsel örnekler iskelet gibidir, çünkü insani ayakta tutan iskelettir, matematigi matematik yapan cebirsel ifadelerdir"

"Matematikteki cebirsel örnekler zeytin peynir gibidir, çünkü onlarsiz kahvalti yapilmaz, cebirsel ifadeler olmadan matematik olmaz"

Çok çe§itlidir: Ögretmen adaylari verilebilecek cebirsel örneklerin çok çeçitli olabilecegini bu nedenle de sayisinin fazla oldugunu düçünmektedirler. Bu tema altinda 21 metafor vardir. Uzay (3), örümcek agi, yildizlar bu temanin metaforlarindan bazilardir.

"Matematikteki cebirsel örnekler uzay gibidir, çünkü sonsuz sayida verilebilir"

"Matematikteki cebirsel örnekler agaç gibidir, çünkü dallara ayrildikça daha da detaylanir"

"Matematikteki cebirsel örnekler yildizlar gibidir, çünkü uzaktan ayni görünür fakat çok farklidirlar"

Belirsizdir: Cebirsel ifadeler de bilinmeyenler olmasi ya da sonucun belirsiz olmasi gibi özellikleri nedeniyle katilimcilar tarafindan kapali kutu (3), sihirbaz çapkasi, karanlik gibi 15 metaforlarla ifade edilmiçtir.

"Matematikteki cebirsel örnekler kapali kutu gibidir, çünkü bilinmeyen vardir. içini açmadan ne oldugunu anlayamayiz."

"Matematikteki cebirsel örnekler sihirbaz çapkasi gibidir, çünkü ne çikacagi belli degildir"

"Matematikteki cebirsel örnekler çaliçmadigim sinavdan alacagim not gibidir, çünkü belirsizdir ve endiçelendirir"

Eglencelidir ve somut kavramlari soyutla§tir: Bu iki baçlik altinda sirasiyla yedi ve be§ metafor toplanmiçtir. Eglencelidir temasi için katilimcilar cebirsel ifadelerle yapilacak dönü§ümleri bulmaca veya oyuncak gibi metaforlarla ifade ederken ikinci temada cebirsel örneklerin kavramlarin soyutlaçtirilmasinda kullanildigini ifade etmiçlerdir.

Matematikteki cebirsel örnekler bulmaca gibidir, çünkü çözmeye çaliçiriz ve eglencelidir'

"Matematikteki cebirsel örnekler büyü gibidir, çünkü soyut dünyanin dogrulandigini gösterir her defasinda"

"Matematikteki cebirsel örnekler ehliyet gibidir, çünkü uygulamanin teorile§tirilmi§ halidir"

Bu baçlik altinda temalaçtirilamayan sekiz metafor bulunmaktadir.

3.3 Ögretmenin Verdigi Örnekler

Çaliçmanin bu bölümünü ögretmen adaylarinin veri toplama aracinin üçüncü sorusu olan "Matematik dersinde ögretmenin verdigi örnekler... gibidir; çünkü..." cümlesini tamamlayarak olu?turduklari verilerin analizi olu?turmaktadir. Ögretmen adaylarinin belirtilen cümleyi tamamlamasiyla olu?turulan kodlar alti tema altinda toplanmaktadir.

Konunun ania^iimasrni saglar: Katilimcilar bu tema altinda, ögretmenin verdigi örneklerin var olan matematiksel konunun anlaçilmasini sagladigini belirtmektedirler. Bu tema altinda 69 metafor toplanmaktadir. Diger temalarla karçilaçtirildiginda en çok bu tema atinda metafor toplandigi dikkat çekmektedir. Bu temaya verilen metaforlardan bazilari güne? (5), ilaç (4), tercüman'dir (2). Katilimcilarin bu temayi olu?turan cümle örneklerinden bazilari ?öyledir.

"Matematik dersinde ögretmenin verdigi örnekler ilaç gibidir, çünkü hastayi iyile?tiren ilaç gibi konuyu anlamamizi saglar."

"Matematik dersinde ögretmenin verdigi örnekler asistan gibidir, çünkü konulari anlamaya yardimci olur"

"Matematik dersinde ögretmenin verdigi örnekler cankurtaran gibidir, çünkü ögretmenin verdigi örnekler konuyu anla?ilmaz olmaktan kurtariyor."

Yol gösterir: Katilimcilar, ögretmenin verdigi örneklerin kendi örneklerini oluçturmalarinda ve hatalarini fark etmelerinde yol gösterdigini ya da baçka yollar arandiginda bu örneklerden faydalandiklarini belirtmiçlerdir. Bu tema altinda 43 metafor toplanmaktadir. Bunlardan bazilari pusula (9), harita (7), rehber'dir (4). Bu metaforlarin ifade edildigi cümlelerden bazilari ise §öyledir.

"Matematik dersinde ögretmenin verdigi örnekler model gibidir, çünkü ögretmenin verdigi örnekler model alinarak yeni örnekler bulmaya çaliçilir"

"Matematik dersinde ögretmenin verdigi örnekler gemi rotasi gibidir, çünkü konu anlamlandirirken bu örneklerin yönelttigi rotaya göre dü?ünürüz"

"Matematik dersinde ögretmenin verdigi örnekler araba fari gibidir, çünkü konu anlatimi bu örnekler olmadan havada kalir, daha kolay önümüzü görmemizi saglar."

Konunun yapi ta§idir: Katilimcilar bu örneklerin bir konu için en önemli ve en temel örnekler oldugunu, bu yüzden bunlarin ögretmen tarafindan verilmesi gerektigini belirtmektedirler. Konunun en önemli noktalari yine bu örneklerde vurgulanmaktadir. Bu tema altinda 33 metafor toplanmiçtir. Bunlardan bazilari fragman (2), binanin temeli, ana yemek'tir. Katilimcilar metaforlardan bazilarini açagidaki çekilde açiklamiçlardir.

"Matematik dersinde ögretmenin verdigi örnekler fragman gibidir, çünkü konuyu özetleyerek akilda kalici yerleri vurgulayarak göz önüne serer"

"Matematik dersinde ögretmenin verdigi örnekler evin temeli gibidir, çünkü ögretimde kullanilacak en temel örneklerdir"

"Matematik dersinde ögretmenin verdigi örnekler tohumu sulamak gibidir, çünkü tohumun büyümesi için suya ihtiyaci vardir, ögretmen ne kadar konuyu anlatirsa anlatsin, örnek vermedigi sürece o konu havada kalir"

Yapiiandmimi^tir, çok çe§itlidir ve anla§ilmazdir: Katilimcilara göre bu örneklerin bir diger özelligi düzenli ve sirali olmasidir. Yapilandirilmi? olmasi temasi altinda 8 metafor bulunmaktadir. Bir diger tema olarak ögretmenin verdigi örneklerin çok çeçitli olabilecegini katilimcilar yine 8 metaforla belirtmiçlerdir. Katilimcilardan 5 tanesi ise ögretmenin verdigi örneklerin anlaçilmaz olabilecegini belirtmiçlerdir.

"Matematik dersinde ögretmenin verdigi örnekler plan gibidir, çünkü düzenli ve siralidir"

"Matematik dersinde ögretmenin verdigi örnekler durmadan akan su gibidir, çünkü ögretmen tarafindan verilebilecek örneklerin siniri yoktur"

"Matematik dersinde ögretmenin verdigi örnekler üç boyutlu resim gibidir, çünkü bazi ögrenciler ögretmenin verdigi örnegi hemen anlar, bazi ögrenciler ise hemen anlamaz, üç boyutlu resimdeki §ekli herkes göremez"

14 metafor ise herhangi bir tema altina yerleçtirilememiçtir.

3.4 Ögrencinin verdigi örnekler

Çaliçmanin bu bölümünü ögretmen adaylarinin, veri toplama aracinin dördüncü sorusu olan "Matematik dersinde ögrencinin verdigi örnekler... gibidir; çünkü..." cümlesini tamamlayarak oluçturduklari verilerin analizi oluçturmaktadir. Katilimcilar bu örnekleri iki boyutta ele almaktadir: Bir ögrencinin kendisinin örnek vermesi veya sinif arkadaçinin örnek vermesi. Bu boyutlar temalarin bazilarinda belirginleçirken bazilarinda ortaya çikmamiçtir. Ögretmen adaylarinin belirtilen cümleyi tamamlamasiyla oluçturulan kodlar yedi tema altinda toplanmaktadir.

Ögrencinin konuyu ögrenme derecesini gösterir: Katilimcilar ögrencilerin verdikleri örnekleri, dogruluguna göre bir ayrim yaparak her iki durumda da ögrencinin konuyu anlama derecesinin bir ifadesi olarak degerlendirmiçlerdir. Ögretmen adaylarina göre ögrenciler, dogru örnek veriyorsa konuyu anlamiç demektir, yanliç örnek veriyorsa ögrenme ile ilgili problemler var demektir. Dolayisiyla bu, biliçsel anlamda bir olgunlaçma göstergesidir. Bu baçlik altinda verilen metaforlardan bazilari meyve (5), ayna (4), zirve'dir (2). Bu temada 48 metafor örnegi verilmiçtir. Katilimcilarin metaforlarini açiklama çekillerinden bazilari §öyledir.

"Matematik dersinde ögrencinin verdigi örnekler zirve gibidir, çünkü ögrencinin ögrendigini hedefe ula5tigini gösterir"

"Matematik dersinde ögrencinin verdigi örnekler deneme gibidir, çünkü edebiyatta deneme ki5isellik içerir. Ögrencinin verdigi örnekler de ki§isel ve kendi algiiayi§iannin ürünüdür"

"Matematik dersinde ögrencinin verdigi örnekler ayna gibidir, çünkü ögrencinin konuyu ne kadar ögrendigini yansitir"

Ögrencinin anlamasi için gereklidir: Bu tema altinda 39 metafor bulunmaktadir. Bu tema altinda verilen metaforlar daha önce belirtildigi gibi hem bireysel olarak ögrenci boyutunda hem de siniftaki diger ögrenciler boyutunda düçünülmüçtür. Bir ögrencinin örnek vermesi, kendi ögrenmesiyle birlikte siniftaki diger ögrencilerin ögrenmesi için gerekli oldugu belirtilmiçtir. Bu tema altinda verilen metaforlardan bazilari su (3), yemegin tuzu (2) çeklindedir. Bu tema altinda tamamlan cümlelere örnekleri ise;

"Matematik dersinde ögrencinin verdigi örnekler yemege atilan baharat gibidir, çünkü ayni seviyede bir ki5inin verdigi örnekler, ögrenmemizi daha anlamli kiliyor, dü5üncelerimizi geli5tirmemizi sagliyor"

"Matematik dersinde ögrencinin verdigi örnekler yürümeyi ögrenen bebek adimlari gibidir, çünkü yava5tir, kusursuz degildir ancak bu 5ekilde ögrenebilir"

"Matematik dersinde ögrencinin verdigi örnekler yemegin tuzu gibidir, çünkü ögrencinin ögrencilerin verdigi örnekler konuyu anlamasini saglar, yani yemegi tamamlar"

Eksiktir/ kariçiktir: Katilimcilar oluçturduklari metaforlarin açiklamalarinda, ögrencinin verdigi örneklerin çok temel düzeyde ya da eksik yanlari oldugunu bazen de ögrenme gerçekleçmemiçse karmaçik olabilecegini belirtmiçlerdir. Bu tema altinda da hem bireysel hem de sinif içindeki diger ögrenciler açisindan düçünülen boyut ortaya çikmaktadir. Çünkü eksik ve karmaçik verilen örneklerin (diger ögrenciler açisindan) gereksiz oldugunu belirten katilimcilar bulunmaktadir. Bu tema altinda 34 metafor bulunmaktadir. Bunlardan bazilari malzemeleri eksik kek kariçimi, ham karpuz, labirent, çikmaz yol'dur. Metaforlarin açiklandigi bazi cümle örnekleri ise açagidaki gibidir.

"Matematik dersinde ögrencinin verdigi örnekler defolu kiyafet gibidir, çünkü eksik yanlari vardir"

"Matematik dersinde ögrencinin verdigi örnekler sisli hava gibidir, çünkü net degildir, düzelmeye ihtiyaci vardir"

"Matematik dersinde ögrencinin verdigi örnekler denetlenmeden piyasaya sürülen ürün gibidir, çünkü iyi olup olmadigi kesin degildir, bilen biri tarafindan onaylanmasi gerekir"

Çe§itlidir ve farki baki§ açilari sunar: Bu tema altinda oluçturulan metaforlarda ögrencilerin verdigi örneklerin çok çeçitli olabilecegi ve bunun da farkli bakiç açilarina ve yeni örneklere yol açabilecegi belirtilmi§tir. Bu tema altinda 25 metafor bulunmaktadir. Gökku§agi (2), seçenek, pencere bunlardan bazilaridir. Bu tema altinda bulunan metafor için oluçturulan cümle örnekleri ise §öyledir.

"Matematik dersinde ögrencinin verdigi örnekler evin arka kapisi gibidir, çünkü konuya farkli baki§ açilariyla sunulan örneklerdir"

"Matematik dersinde ögrencinin verdigi örnekler gökkujagi gibidir, çünkü her ögrencinin farkli renkler gibi farkli düçünce tarzlari vardir"

"Matematik dersinde ögrencinin verdigi örnekler içik gibidir, çünkü hem konuya hem de yeni örneklere yol gösterir"

Ögretmen için dönüttür: Bu tema altinda ortaya çikan metaforlarda katilimcilar, ögrencilerin verdigi örneklerin ögretmen için bir dönüt, ögretmenin anlattiklarinin bir yansimasi oldugunu belirtmiçlerdir. Bu tema altinda 14 metafor bulunmaktadir. Bunlardan bazilari ayna, bilgisayar, bumerang'tir. Katilimcilar bu tema altindaki düçüncelerini §u çekilde açiklamiçlardir.

"Matematik dersinde ögrencinin verdigi örnekler ayna gibidir, çünkü ögretmenin ne kadar ögrettigini yansitir"

"Matematik dersinde ögrencinin verdigi örnekler çocuk gibidir, çünkü çocugun baçarisinin ailenin baçarisini göstermesi gibi, bu örnekler ne kadar baçariliysa ögretmen de o kadar ba§arilidir"

"Matematik dersinde ögrencinin verdigi örnekler alinan mesaj gibidir, çünkü ögretmenin anlattiklarina karçilik ögrencinin verdigi cevaptir"

Kalicidir ve dersi zevkli hale getirir: Kalicidir temasi altinda verilen metaforlarda (6) katilimcilar, ögrenciler kendileri örnek verdiginde bunlarin daha zor unutulacagini belirtmektedirler. Dersi zevkli hale getirir (6) temasi altinda ise ögrencinin örnek vermesinin dersi zevkli hale getiren unsurlardan biri oldugu vurgulanmiçtir. Bu temalar altinda verilen metaforlardan bazilari çivi yazisi, nakarat, yemegin tuzu, muz'dur. Katilimcilarin metaforlarini açiklama çekillerinden bazilari ise açagidaki gibidir.

"Matematik dersinde ögrencinin verdigi örnekler çivi yazisi gibidir, çünkü kolay kolay unutulmaz çünkü kendi ürettigimiz düçünceler kalicidir"

"Matematik dersinde ögrencinin verdigi örnekler nakarat gibidir, çünkü en çok onlar hatirlanir"

"Matematik dersinde ögrencinin verdigi örnekler muz gibidir, çünkü çok tatli ve güzeldir. Dersi zevkli hale getirir"

Bu baslik altinda temalaçtirilamayan dokuz metafor bulunmaktadir.

Ögretmen adaylarinin seçtikleri metaforlar ile sinif düzeyleri arasindaki iliçki Ki-kare testi ile incelenmiçtir. Ögretmen adaylarinin görsel örnekler, cebirsel örnekler, ögretmenin verdigi örnekler ve ögrenciler tarafindan oluçturulan örnekler ile ilgili oluçturduklari metaforlar ve sinif düzeyleri arasinda anlamli iliçki bulunamamiçtir (p=0.171, p=0.177, p=0.565, p=0.374).

3.5 Görü$melerden Eide Edilen Bulgular

Daha önce belirtildigi gibi yapilan kodlamalarin ve oluçturulan temalarin dogrulugu belirlemek için 11 katilimci ile görü§me yapilmiçtir. Görü§meye katilan katilimcilarin tamami oluçturduklari metaforlarin bulunduklari temalari dogrulamiçlardir. Bunlara ek olarak görü§me yapilan katilimcilara, veri toplama aracinda bulunan son iki cümleyle baglantili olarak, örneklerin ögretmen adaylari tarafindan algilanmasini ortaya çikarmak ve derinlemesine veri elde etmek amaciyla iki soru daha yöneltilmi§tir:

1. Bir ögretmen adayi olarak matematiksel örnekleri sinif içinde nasil ve hangi amaçla kullanmayi düçünürsünüz?

2. Ögretmenler ve ögrenciler tarafindan verilen örneklerin kavramsal anlamaya ve kaliciliga olan etkisi nedir?

Görü§me verilerinden elde edilen ilk bulgu ögretmen adaylarinin örnekleri algilamalarinin çogunlukla, daha önce alan yazinda kullanilan siniflamalardan biri olan bir kavramin örnegi ya da bir prosedürün örnegi çeklinde oldugu gözlenmi§tir. Açagidaki alintilarda bu durum gözlenebilmektedir.

B: Mesela bir örnek sunarim. Bir problem. Ve bu problemi ögrettiklerimizi içiginda çôzmelerini isterim.

M2: Ögrencinin verdigi örnekten konuyu ne kadar anladigini ya da o kavrami nereye yerleçtirdigini, zihninde nerede durdugunu ögrenmi? oluyoruz.

E: Kendi alanim açisindan düçündügüm zaman mesela en baçta konuyu anlatirken ?u nedir, açiortay nedir gibi fikir üretmelerini saglayabilirim ama matematikte daha çok ögretmenin soru yazmasi [prosedürel örnek] gerekiyormu? gibi geliyor bana... Yani daha çok ögretmenin örnek vermesi gerekiyormu? gibi geliyor.

Ögretmen adaylarinin örnekleri sinif içinde kullanma çekilleri, ögretmen ve ögrenci, konu hakkinda ögrencinin sahip oldugu bilgi miktari, kullanilan yöntem, sinifta kullanma zamani boyutlarinda degiçmektedir. Bu boyutlar bazi özellikleriyle öne çikmakla birlikte her bir boyutun diger boyutla kesiçtigi alanlar oldugunu söylemek mümkündür. Ögretmen adaylari kendi derslerinde örnekleri hem kendilerinin vereceklerini hem de ögrencilerinden isteyeceklerini belirlemiçlerdir. Ögrencilerin örnekleriyle ilgili olarak vurguladiklari en önemli nokta, ögretmenin aninda dönüt verilmesi gerektigidir. Ögrencinin verdigi örnek dogruysa onaylanacak, yanliçsa düzeltilecek ve dolayisiyla olasi kavram yanilgilarinin önüne geçilecektir.

G: Ögrenci örnek verirken aklina takilan bir nokta varsa mesela o noktayi daha iyi irdelemesi açisindan önemli oluyor. Ögretmen örnek verirken bu olmuyor mu? Ögretmeni ne kadar etkin dinledigine bagli. Ögretmen çok iyi örnekler veriyor olabilir ama eger çocuk örnek vermezse iyi anlayip anlamadigini bilemiyorsunuz. Dönüt düzeltme meselesi var. Aksi takdirde ögretmen bunu gerçekleçtiremez. Çocuklarin örnek vermesi kavram yanilgisi (düzeltilmesi) açisindan çok önemli.

M1: Ögrenciler kendi örneklerinde nasil anladigini yansitacak ögretmenlerde bunu görüp buna göre dönüt verecek.

Ögretmen adaylari için örneklerin sinif içinde kullanimini etkileyen faktörlerden biri de konu hakkinda ögrencinin sahip oldugu bilgidir. Ögretmenin örnek vermesinin nedenleri soyut kavramlari somutlaçtirmak ve konunun daha iyi anlaçilmasini saglamaktir. Fakat konu, ögrenci tarafindan biliniyorsa, konu hakkinda ögrencinin hazirbulunu§lugu/önbilgileri ya da konunun anlaçilip anlaçilmadigi kontrol edilmek isteniyorsa ögrenciden örnek istenmektedir.

N: Somut olarak aklinda canlanabilmesi için. Çünkü matematik biraz daha soyut. Biliçsel süreçler zamanla geliçiyor. Biz lise ögretmeni olacagiz. Belki bu süreçler biraz daha geli§m i§. Ama ne kadar çok örnek verirsem, ne kadar somut olursa o kadar kalici olur. Bende öyle oluyordu çünkü.

Z: Sonuçta matematik soyut çeylerden oluçuyor. O soyut kavramlari somutlaçtirmak için örnek verebilirim. Kazanima göre de degiçir. Soracagim soru önceki kazanimlari ile ilgiliyse ders baçinda isterim. Ama ben soyut bir kavrami anlattim. Anlattiklarimi ölçmek yani ögrencinin anlayip anlamadigini kontrol etmek amaciyla da örnek isteyebilirim.

Kullanilan yöntem de örneklerin sinif içinde kullanimini etkilemektedir. Katilimcilardan biri bu durumu §u çekilde ifade etmiçtir.

C: Biraz seçtigimiz yöntemle alakalali bence. Seçtigimiz yöntem düz anlatimsa, kavramlari ögretmek anlaminda örnekler veririz. Seçtigimiz örnekler daha çok buluçla ilgiliyse ögrencilere bir yanli§ bir dogru örnek vererek kavramalarini daha iyi saglayabiliriz.

Ögretmen adaylari bir konuyu anlatirken ilk örnekleri kendileri vermeyi tercih ederken konunun ilerleyen açamalarinda ögrenciden örnek istemenin daha dogru bir strateji olacagini düçünmektedir. Örnegin konu baçinda verilen örnekler daha çok dikkat çekmek ve güdülemek amaciyla kullanilmak istenirken ilerleyen açamalarda konunun daha iyi anlaçilmasi hedeflenmektedir. Bu nedenle ilk örneklerin ögretmen tarafindan verilmesi tercih edilmektedir.

H: ilk giri§ kisminda ben örnek veririm daha sonra onlarin bulmasini isterim. ilk örnekleri ögretmen vermeli sonraki örnekleri ise ögrenci vermelidir.

Ögrenilenlerin kaliciligi anlaminda katilimcilarin tamami ögrencilerin verdikleri örneklerin daha yararli oldugunu düçünürken, kavramsal anlamanin saglanmasi anlaminda ögretmenin verdigi örneklerin daha etkili oldugunu düçünmektedir.

§: Konuyu ögrenciye kavratmak için örnek verilmelidir. Özellikler ögrencilerinin yaçamina uygun örnekler verildiginde daha iyi anlaçilacaktir.

G: Çocuk mesela kendi örnegini verdigi zaman daha kalici oluyor. Mesela ben kendi derslerime çaliçirken günlük hayatimdan çagriçimlar yapiyorum. Kendi kendime örnekler veriyorum. Bu bile benim ögrenmemi etkiliyor.

4. SONUÇ, TARTISMA VE ÖNERiLER

Bu çaliçmanin amaci ögretmen adaylarinin matematiksel örnekler kapsaminda sahip olduklari metaforlari belirleyerek sinifta, örnek kullanimlarina iliçkin algilarini ortaya çikarmaktir. Bu amaçla ögretmen adaylarinin, sinifta kullanilabilecek iki örnek türü olan görsel ve cebirsel örneklerle beraber, ögretmen ve ögrenciler tarafindan verilen örnekler hakkinda toplamda dört cümleyi tamamlamalari istenmiçtir. Tamamlanan cümleler incelendiginde, ögretmen adaylarinin yanitlarini iki bakiç açisiyla -ögretmen adayi ve ögrenci- verdikleri söylenebilir.

Görsel örneklerin ögretmen adaylari tarafindan vurgulanan özellikleri akademik ve akademik olmayan iki kategori altinda toplanabilir. Görsel örnekler, soyut kavramlari somutlaçtirarak, ögrenmedeki kaliciligi arttirarak, kimi durumda anlamayi kolaylaçtirip kimi durumda zorlaçtirarak ve farkli bakiç açilari sunarak akademik anlamda katki saglamaktadir. Görselle§tirmenin eleçtirilen bir boyutu olan ve kimi zaman anlamayi zorlaçtirmasi olarak ifade edilen tema, ögretmen adaylari tarafindan diger temalarla karçilaçtirildiginda çok fazla vurgulanmamiç ve olumsuz tek tema olarak ortaya çikmiçtir. Akademik olmayan boyutta ise matematigi renklendiren, ilgi ve dikkat çeken özellikleri ortaya çikmiçtir. Buna karçilik cebirsel örneklerin çogunlukla konunun anlaçilmasina olan katkisi ve biliçsel anlamda oluçturdugu yüke vurgu yapilmiçtir. Cebirsel örnekler, her ne kadar ögretmen adaylari tarafindan anlaçilmasi zor olmasi ve çaba gerektirmesi yönleriyle ifade edilmiç olsa da anlaçildiginda, konunun pekiçtirilmesini sagladigi, matematigin yapi taçi oldugu gibi özellikleri en çok vurgu yapilan ikinci özellik olmuçtur. Görsel örneklerin aksine cebirsel örneklerin daha çok akademik özelliklerine deginilmiç, katilimcilarin çok azi tarafindan eglenceli oldugu ifade edilmiçtir.

Ögretmen tarafindan verilen örneklerin, ögretmen adaylari tarafindan en çok vurgulanan özelligi matematiksel bir konunun anlaçilmasina en çok katki saglayan örnek türü olmasidir. Bu örnek türü ayni zamanda ögrencilerin kendi örneklerini oluçturmasinda onlara yol göstermesi ve rehberlik yapmasi açisindan oldukça önemli bir role sahiptir. Ögretmen adaylarina göre bu örneklerin bir diger özelliginin de yapilandirilmiç olmasidir. Bills vd. (2006) pedagojik anlamda yararli örneklerin iki temel özelliginden bahsetmektedir. Bunlardan ilki, ögretilmek istenen özelliklere, hedef kitlenin yani ögrencilerin dikkatini kolayca çekebilecek kadar çeffaf olmasi, ikinci özellik ise genelleçtirmeyi teçvik etmesidir yani gösterilen durumun bir örnegini oluçturmak için önemli özelliklerin vurgulanmasi ayni zamanda keyfi ve degiçtirilebilir özelliklere de içaret etmesidir. Katilimcilar, ögretmen tarafindan verilen örneklerin en önemli noktalari vurguladigini, belli bir düzende verildigini belirterek, aslinda literatürde verilen özelliklerle benzer düçüncelere sahip olduklarini göstermektedirler. Katilimcilardan bazilari ise ögrenci kimligiyle cevap vererek ögretmen tarafindan verilen örneklerin anlaçilmaz olabilecegini ifade etmiçlerdir. Ögrencilerin verdigi örneklerin en önemli özelligi ise kendi ögrenmeleri hakkinda hem kendilerine hem de ögretmene bilgi saglamasidir. Dolayisiyla bu durum ögrenci tarafindan verilen örneklerin, hem bir ôlçme araci olarak hem de bir iletiçim araci olarak düçünülmesine neden olmuçtur. Bu sonuç, Leihhart'in (2001) çaliçmasinda belirttigi gibi örneklerin ögretmen ve ögrenci arasinda bir iletiçim araci rolü oluçturmasini dogrular niteliktedir. Ögrencinin verdigi örnekler sayesinde ögretmen, ögrenmedeki eksiklikler konusunda fikir sahibi olabilmektedir. Katilimcilardan bazilari, ögretim yöntemi ve ögretimsel beceriler açisindan ögrenci örneklerinin, ögretmenin kendi için de bir dönüt oldugunu düçünmektedir. Bu yüzden ayna metaforu gibi bazi metaforlar bazen ögrencinin ögrendiklerinin yansimasi olarak kullanilirken bazen de ögretmene dönüt oluçturmasi anlaminda kullanilmiçtir. Ögrenci örneklerinin belirtilen diger özellikleri ise eksikliklerinin var olmasi, dersi dinamik hale getirmesi ve monotonluktan kurtarmasidir.

Ögretmen adaylarinin metaforlarinin oluçturduklari temalar ve sinif düzeyleri arasinda anlamli bir iliçki bulunamamiçtir. Aslinda örneklere yönelik algilarin sinif düzeyi arttikça daha sofistike özellikler kazanmasi ve temalara dagilimin bu yönde olmasi beklenen bir bulgu olmasina ragmen, bu degiçkenler arasinda anlamli iliçki ortaya çikmamiçtir. Daha geniç örneklemlerle yapilacak çaliçmalar bu tür bulgularin ortaya çikmasinda etkili olabilir.

Ögretmen adaylariyla yapilan görü§melerde ise örnek kavrami katilimcilarin çogu tarafindan bir kavramin ya da bir prosedürün örnegi olarak düçünüldügü gözlenmi§tir. Çok az katilimci tarafindan ters örnek ve örnek olmayan durum, örnek türü olarak belirtilmiçtir. Oysa özellikle ters örnek, özel bir ifadenin neden dogru olmadigina iliçkin iç görü oluçturup açiklama sunmasinin yani sira, ayni ifade için farkli ters örneklerin bulunmasi için fikir vermesi (Peled ve Zaslavsky, 1997) nedeniyle, ögretimsel gücü oldukça yüksektir. Bunun yaninda ögretmen adaylarinin matematiksel örnek algilarinin çogunlukla belli prosedürlerin uygulandigi problemler, sorular ya da aliçtirmalardan oluçtugu ve bu tür örnekleri çogunlukla kendilerinin vermeyi planlandiklari ortaya çikmiçtir. Ögrencilerden istenecek örneklerin ise çogunlukla bir kavramin örnegine yönelik olacagi ortaya çikmiç, daha karmaçik biliçsel süreçler gerektirecek örnek üretme aktivitelerine deginmemiçlerdir. Bu nedenle ögretmen adaylarinin örnek kullanimlarinin geleneksel düzeyde kaldigi söylenebilir.

Ögretmen adaylarinin, örneklerin sinif içinde kullanimina yönelik algilari incelendiginde çogunlukla ögrenilen prosedürlerin uygulanmasina iliçkin örnek kullanmayi düçündükleri görülmektedir. Örneklerin kullanimina yönelik araçtirmalar incelendiginde (Zodik ve Zaslavsky, 2009; Dahlberg ve Housmann, 1997; Watson ve Mason 2005) genelleme soyutlama gibi matematiksel becerilerin geliçmesine sagladiklari katki ve bir kavramin ögrenildigi ilk açamalardaki rolleri ile örnekler pedagojik anlamda önemli araçlardir. Ancak ögretmen adaylarinin bu araçlarin kullanimi ile ilgili bilgileri çogunlukla ögretmenlerini gözleyerek edindikleri formal olmayan ögrenmeler ya da kendi ögrenmeleri ile sahip oldugu bilgilerden oluçtugu ortaya çikmiçtir. Ögrencilerin kendi deneyimlerinden yola çikarak oluçturdugu varsayimlar Aubry'nin (2009) çaliçmasinda belirttigi gibi olaylar hakkindaki düçüncelerimizin, daha önce yaçadigimiz deneyimler etkisiyle çekillenen beynimizden geldigini ve bu çaliçmanin varsayimlarindan biri olan, ögretmen adaylarinin örnekler hakkindaki algilarinin gelecekteki ögretim faaliyetlerini etkileme potansiyeline sahip oldugu savini dogrulamaktadir. Ögretmen adaylarinin pedagojik anlamda güçlü araçlar olan örnekleri daha iyi kullanabilmelerine yönelik ögretim programlarina eklenecek içerik ve dersler, matematiksel düçünme becerilerini geliçtirecek hatta düçünme becerileri daha iyi ögrencilerin yetiçmesine neden olacaktir.

Sidebar

SUMMARY

Examples are indispensable part of educational activities regardless of in which field they are used. Teachers use examples for different purposes. As selection of examples has the potential to facilitate or complicate the learning of students, teachers have challenging responsibilities about choosing examples to design their courses, and they are required to think many features of examples (Zaslavsky & Zodik, 2007). However, there are a few studies how teachers choose examples or what they should take into account in this process. Besides that, the way of using examples provide information about teachers' mathematical and pedagogical knowledge (Zodik & Zaslavsky, 2009).

Metaphor can be defined as a strong mental structure, which an individual used to describe an abstract, complex and theoretical phenomenon (Saban, Koçbeker & Saban, 2006). Like in metaphor 'Mathematics is a ladder' a more abstract concept 'mathematics' was related to a concept that is more concrete. In this relationship, it can be concluded that mathematics is a cumulative branch of science and it can be proceeded to more complex concepts, starting with the most basic ones. The conceptual metaphor theory actually is an attempt to understand how we think and our understanding stems from our experiences and our brain, which is shaped through culture we live in (Aubry, 2009). Because metaphors establish relations between different senses, they are also essential to constitute mathematical concepts (Font, Bolite & Acevedo, 2010).

The main objective of teacher training programs is to equip teachers with the knowledge and skills required in the field of education. But one of the points that teacher educators should take into account is that prospective teachers are coming to classrooms with different experiences, just like other students. Therefore, prospective teachers' perceptions and experiences should be revealed during the process of building their skills. So the purpose of this study is to investigate preservice teachers' conception of different kinds of examples (visual and algebraic examples in mathematic classes; mathematical examples given by teachers or generated by students). As previously noted in many studies (e.g. Saglam, 2014) affective characteristics, beliefs, experiences, and perceptions have the potential to effect teachers' activities within their classes. Thus, the discovery of such characteristics of teachers will create opportunities for the reorganization of the content of teacher training programs in accordance with nowadays' changing conditions. The participants of the study consist of 190 preservice mathematics teachers. Data collection tool is included four uncompleted sentences in the form of: "Visual examples in mathematics are like..., because..."; "algebraic examples in mathematics are like., because."; "Examples given by teacher in mathematics are like., because."; "Examples given by students in mathematics are like., because.". Participants were asked to complete these sentences. Obtained data were analyzed by using content analysis. To ensure the reliability of the data interviews were conducted with 11 of participants, so classification and thematization of metaphors were checked. In addition, through the interviews in-depth information was obtained on perceptions of preservice teachers with respect to mathematical examples.

According to results, preservice teachers have two standpoints by constructing their metaphors: Student and teacher. For visual examples, seven themes revealed: Visual examples concretize abstract concepts, make mathematics fun, facilitate to understand the topic, are easy to remember, are attention grabbing, add to mathematics diversity and different points of view, and make topic difficult to understand. In these sense, visual examples have academic and non-academic role in learning process according to participants. Algebraic examples facilitate and strengthen the understanding, are difficult to understand, are basic for mathematics, are varied, are indefinite, are fun and make concrete concepts abstract. Examples, which were given by teachers facilitate the understanding of mathematical topic, guide, constitute a basis for a topic, are structured, are varied and are incomprehensive. Finally, examples generated by students are indicator of learning level, are essential for understanding, are deficit/tangled, are varied, are feedback for teacher, are long lasting, and make lessons fun.

In interviews, it was observed that preservice teachers' decisions on use of examples in class differ according to teacher and student, readiniess of students, method used in class and period of class time. In addition to that teacher candidates take into account mostly the examples of a procedure or a concept. Very few of the participants were mentioned about counter examples and non-examples, which have strong educational power. It can be concluded that teacher-training programs need additional lessons and contents that can help teacher to use examples in an efficient way.

References

KAYNAKLAR

Abdul-Rahman, S. (2005). Learning with examples and students' understanding of integration. In A. Rogerson (Ed.), Proceedings of the Eighth International Conference of Mathematics Education into the 21st Century Project on "Reform, Revolution and Paradigm Shifts in Mathematics Education. Johor Bahru: UTM.

Aubry, M. (2009). Metaphors in mathematics: Introduction and the case of clgebraic geometry. Available at SSRN: http://ssrn.com/abstract=1478871 or http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.1478871

Bills, L., Dreyfus, T., Mason, J. Tsamir, P. Watson, A. & Zaslavsky, O. (2006). Example generating in mathematics education, In J. Novotná, H. Moraová, M. Krátká, & N. Stehliková (Eds.), Proceedings of the 30th Annual Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 1, pp. 126-154). Prague: Czech Republic.

Bullough, R. (1991). Exploring personal teaching metaphors in preservice teacher education. Journal of Teacher Education, 42(1), 43-51.

Cerit, Y. (2006). Ögrenci, ögretmen ve yöneticilerin okul kavramiyla ilgili metaforlara iliçkin gôrüçleri. Kuram ve Uygulamada Egitim Bilimleri, 6(3), 669-699.

Chapman, O. (1997). Metaphors in the teaching of mathematical problem solving. Educational Studies in Mathematics, 32(3), 201-228.

Creswell, J.W. (2008). Educational research planning, conducting, and evaluating qualitative research (3rd Ed.). NJ: Pearson Education.

Dahlberg, R. P. & Housman, D. L. (1997). Facilitating learning events through example generation. Educational Studies in Mathematics, 33, 283-299.

Font, V., Bolite, J., & Acevedo, J. (2010). Metaphors in mathematics classrooms: analyzing the dynamic process of teaching and learning of graph functions. Educational Studies in Mathematics, 75,131-152.

Font, V., Godino, J. D., Planas, N. & Acevedo, J. I. (2010). The object metaphor and synecdoche in mathematics classroom discourse. For the Learning of Mathematics, 30(1), 15-19.

Goldenberg, P. & Mason, J. (2008). Shedding light on and with example spaces. Educational Studies in Mathematics, 69, 183-194.

Güler, G., Akgün, L., Ôçal, M. F., & Doruk, M. (2011). Pre-service mathematics teachers' metaphors about mathematics concept. Journal of Research in Education and Teaching, 1(2), 25-29.

Ju, M.K. & Kwon, O.N. (2004). Analysis of students' use of metaphor: The case of an RME-based differential equations course. Journal of the Korea Society of Mathematical Education, 8(1), 19-30.

Lakoff, G. & Johnson, M. (2015). Metaforlar, hayat, anlam ve dil. (Çev. Gökhan Yavuz Demir). istanbul: ithaki Yayinlari. (Özgün çaliçma, 1980).

Leavy, A.M., McSorley, F.A. & Bote, L.A. (2007). An Examination of what metaphor construction reveals about the evolution of preservice teachers' beliefs about teaching and learning. Teaching and Teacher Education, 23, 1217-1233.

Leinhardt, G. (2001). Instructional explanations: A commonplace for teaching and location for contrast. In V. Richardson (Ed.). Handbook of research on teaching (4th ed., pp. 333357). Washington, DC, USA: American Educational Research Association.

Martinez, M., Sauleda, N., & Huber, G. (2001). Metaphors as blueprints of thinking aboutteaching and learning. Teaching and Teacher Education, 17, 965-977.

Michener, E. (1978). Understanding mathematics. Cognitive Science, 2, 361-383.

Miles, M.B., & Huberman, M. (1994) Qualitative Data Analysis: An expanded sourcebook. (2.baski)Tousand Oaks, CA: Sage.

Moser, K. S. (2000). Metaphor analysis in psychology - method, theory, and fields of application. Forum: Qualitative Social Research, 1(2). Article 21.

Neuendorf, K. A. (2002). The content analysis guidebook. Thousand Oaks, CA: Sage.

Peled, I., & Zaslavsky, O. (1997). Counter-examples that (only) prove and counter-examples that (also) explain. FOCUS on Learning Problems in Mathematics, 19(3), 49-61.

Saban, A. (2004). Prospective classroom teachers' metaphorical images of selves and comparing them to those they have of their elementary and cooperating teachers. International Journal of Educational Development, 24, 617-635.

Saban, A., Koçbeker, B. N. ve Saban, A. (2006). Ögretmen adaylarinin ögretmen kavramina iliçkin algilarinin metafor analizi yoluyla incelenmesi. Kuram ve Uygulamada Egitim Bilimleri, 6(2), 461-522.

Saban, A. (2009). Ögretmen adaylarinin ögrenci kavramina iliçkin sahip olduklari zihinsel imgeler. Türk Egitim Bilimleri Dergisi, 7(2), 281-326.

Saglam, Y. (2014). Visual preferences and teaching anxiety of preservice mathematics teachers. Proc. Soc. Behav. Sci., 141,1270-1274.

Skemp, R. R. (1971). The psychology of learning mathematics. Harmondsworth, UK: Penguin Books, Ltd.

Thompson, A. G. (1992). Teachers' beliefs and conceptions: A synthesis of the research. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 127146). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

Uygun, T., Gökkurt, B., Usta, N. (2016). Üniversite ögrencilerinin matematik problemine iliçkin algilarinin metafor yoluyla analiz edilmesi. Bartin Üniversitesi Egitim Fakültesi Dergisi, 5(2), 536 - 556.

Watson, A., & Mason, J. (2005). Mathematics as a constructive activity: Learners generating examples. Mahwah, NJ: Erlbaum.

Yildirim, A., & §im§ek, H. (2005). Sosyal bilimlerde nitel ara§tirma yöntemleri. (5. Baski). Ankara: Seçkin Yayincilik.

Zaslavsky, O., & Zodik, I. (2007). Mathematics teachers' choices of examples that potentially support or impede learning. Research in Mathematics Education, 9, 143-155.

Zaslavsky, O. (2010). The explanatory power of examples in mathematics: challenges for teaching. In Stein, M. K. and Kucan, L. (Eds.). Instructional Explanations in the Disciplines (pp. 107-128). Springer.

Zazkis, R., & Leikin, R. (2008). Exemplifying definitions: A case of a square. Educational Studies in Mathematics, 69(2), 131-148.

Zodik, I., & Zaslavsky, O. (2009). Teachers' treatment of examples as learning opportunities. In Tzekaki, M., Kaldrimidou, M., & Sakonidis, C. (Eds.). Proceedings of the 33rd Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, v.5, pp. 425432.Thessaloniki, Greece: PME.