基于MEEMD与FLP的光纤陀螺去噪

1 引言

光纤陀螺(Fiber optic gyroscope，FOG)是进行角速度测量的新型传感器件，自20世纪70年代发展以来，广泛应用于导航制导领域，其输出精度与惯导系统性能直接相关^[1]。在光纤陀螺实际使用过程中，受工作环境、制造工艺等多方面因素影响，陀螺信号输出中除了有用信号之外，还伴随着大量噪声，使陀螺输出信号淹没在较强的噪声信号里，限制了光纤陀螺的使用。因此，如何降低噪声对陀螺信号的影响，实现光纤陀螺输出的有效降噪，成为光纤陀螺应用中亟需解决的问题^[2]。

随着FOG的广泛应用，关于FOG去噪方面的研究也得到了广泛的关注。文献[3]通过FLP滤波技术对光纤陀螺信号进行实时滤波，减少了光纤陀螺的零偏不稳定性并抑制了高频噪声；文献[4]采用归一化LMS算法进行了光纤陀螺降噪分析，降低了光纤陀螺角度随机游走噪声；文献[5]通过时间序列分析方法，对光纤陀螺的漂移信号建立ARMA模型，并通过强跟踪Kalman滤波方法进行随机信号最优估计；小波分析作为经典的去噪方法，在FOG去噪中也取得了较好的效果^[6]。随着对小波分析研究的深入，文献[7]提出了基于小波包变换的FOG去噪方法，在小波分析的基础上进行了改进，取得了更好的去噪效果；文献[8]利用提升小波去噪法对光纤陀螺分形噪声进行了滤除。但面对复杂的噪声信号时，这些单一的去噪方法提升空间有限，在一定程度上限制了去噪效果。因此，采用信号分解方法进行信号处理并降噪的方法得到了推广。

在信号分解过程中，文献[9]利用小波包变换对信号的多尺度分解，将原有的去噪过程转换为“小波分解-去噪”的过程；文献[10]通过小波和对角神经网络结合，实现对高频噪声和低频噪声的综合去噪。但小波基的选择对信号的去噪效果起着决定性作用，是一种非自适应的滤波方法。在此基础上，文献[11]提出了利用经验模态分解(empirical mode decomposition，EMD)代替小波分解进行FOG降噪，大大提升了自适应性；EMD方法在工程中有着广泛应用，针对非线性非平稳时间序列有着很好的效果。然而，在EMD分解过程中，存在着模态混叠现象，且EMD分解过程中产生的多个分量中无具体物理意义，如何对多个分量进行筛选，在一定程度上影响着FOG的去噪精度。

本文在FOG去噪过程中，通过经验模态分解(modified ensemble empirical mode decomposition，MEEMD)与前向线性预测(forward linear prediction，FLP)算法的结合，采用“分解-去噪”思想对FOG输出信息进行分析；在“分解”过程中，采用MEEMD方法对原FOG输出信号进行处理，避免了小波基选取的复杂，同时缓解了EMD分解中的模态混叠现象；在“去噪”过程中，引入排列熵概念对信号进行分析，通过衡量信号复杂度完成对异常信号的筛选，同时利用FLP算法完成去噪。通过MEEMD的多尺度分解以及FLP算法的高精度去噪优势相结合，有效减少了噪声信号对FOG输出的影响，从而提高了FOG的精度，并在一定程度上提升了惯导系统的性能。

2 MEEMD-FLP去噪算法

结合上文对FOG去噪算法的分析可知，实际采样的FOG数据受多方面因素影响，淹没在各种噪声中，此时单一的FOG去噪方法精度有限，且由于原始FOG输出中噪声信号较强，单一的去噪方法的性能受到限制，因此采用“分解-去噪”的思想对FOG输出数据进行噪声剔除^[12]。在MEEMD-FLP去噪算法中，可以分为“分解”与“去噪”两个步骤。首先通过MEEMD分解，对原始FOG数据进行预处理，提取出信号的内部特征，以实现对FOG信号的初步筛选；然后通过精确度更高的FLP去噪算法进行降噪处理，最终完成FOG数据的降噪过程。

2.1 信号分解

在信号分解过程中，基于小波变换的分解具有良好的时频局部化能力和多分辨率分析特性，可以在多个尺度上进行小波分解，同时能够在时频域中对信号进行分析。小波分析的缺点在于小波基的选取过于复杂，有时为了达到理想效果，甚至需要构建合适的小波基，这在一定程度上限制了其自适应性^[13]。为了替代小波分析在时间序列分解中的应用，选择经验模态分解对FOG输出数据进行分析。经验模态分解于1998年由Huang提出，是一种新型的信号分解方法，在非线性、非平稳信号的处理中具有良好的效果^[14]。EMD算法将复杂信号分解为多个固有模态函数(intrinsic mode function，IMF，用F_imf表示)和一个余项(residual series)，EMD分解的表达式如下：

\( S(t) = \sum\limits_{i = 1}^n {{F_{{\rm{imf}} - i}}} (t) + {r_n}(t){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} , \)(1)

式中：S(t)为原始信号；F_imf-i(t)为第i个IMF分量；r_n(t)为分解得到的余项。待分解信号可表示为分解得到的子序列之和。

在分解过程中，根据IMF判据，判断IMF分量的标准为

1) 信号中零点数和极值点数相等或至多相差1个；

2) 极大值包络线和极小值包络线的均值相等且为0。

相比小波分析而言，经验模态分解在信号处理中具有很好的自适应性，针对非线性、非平稳信号具有很好的分解效果，在信号处理中得到了广泛的应用。但在实际应用中，存在着以下两个问题：

1) 模态混叠问题。即同一个IMF分量中出现了不同尺度和频率的信号，或同一尺度及频率的信号被分解到多个IMF分量中。多个模态混杂在若干个IMF分量中，影响了IMF分量的物理意义，不利于后续的去噪处理。

2) 噪声信号的确定。在分解产生的多个IMF分量中，如何选择需要滤除的IMF分量以及后续如何对所得到的多个IMF分量进行处理。

针对FOG输出数据的EMD分解中存在的问题，本文采用MEEMD方法进行信号分解；MEEMD方法能够在一定程度上克制模态混叠现象，其步骤如下^[15]：

1) 针对原始信号S(t)，分别添加均值为0且互为相反数的白噪声信号序列n_i(t)和-n_i(t)，用表示噪声幅值，i表示添加的白噪声对数，即：

\( \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {S_i^ + (t) = S(t) + {a_i}{n_i}(t)}\\ {S_i^ - (t) = S(t) - {a_i}{n_i}(t)} \end{array}} \right.。\)(2)

2) 对式(2)中的序列进行EMD分解，得到第一阶IMF分量为I_i1⁺(t)及I_i1^-(t)。集成这一对IMF分量：

\( {I_1}(t) = \frac{1}{{2N}}\mathop \sum \limits_{i = 1}^{{N_e}} [I_{i1}^ + (t) + I_{i1}^ - (t)]。\)(3)

3) 引入排列熵(permutation entropy，PE)概念，对式(3)中所得的IMF分量进行PE判断。PE是一种检测时间序列随机性和动力学突变的方法，其概念简单，运行速度快，抗干扰能力强，适用于具有非线性的FOG输出数据^[16]。如果PE值大于设定值，则认为序列为噪声序列，否则近似认为平稳序列。

4) 经过步骤3)的PE检测后，如果式(3)中所得的IMF分量是噪声序列，则继续执行步骤1)，直至该IMF分量平稳。

5) 将已分解得到的相对平稳的IMF分量从原始信号中分离出：

\( r(t) = S(t) - \sum\limits_{i = 1}^{p - 1} {{I_j}} (t)。\)(4)

6) 对式(4)中得到的剩余信号进行EMD分解，将所得到的所有IMF分量按照频率的高低进行排列。

针对FOG数据序列中隐藏的噪声序列，通过MEEMD分解设置排列熵阈值，以实现对噪声序列的检测并对其进行滤除，为分解后FOG输出数据的处理提供了准确的IMF分量；同时MEEMD方法在模态混叠现象中的抑制，在一定程度上提高了分解效率及精确性。

2.2 信号去噪

在信号去噪方面，采用FLP滤波算法。通过对时刻t之前的信号与设置的权重相乘，实现对时刻t的信号预测。在应用中，通常设置初始权重值为0，然后通过迭代，运用最小均方差理论最小化当前时刻和预测值之间的差值，最终获得一个稳定收敛的权重值。

FOG输出数据在时刻t的估计值为

\( \hat x(t) = \sum\limits_{p = 1}^K {{a_p}} x(t - p) = {\mathit{\boldsymbol{A}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{X}}(t - 1){\kern 1pt} {\kern 1pt} , \)(5)

式中：x(t-p)是时刻t之前的FOG输出数据；矩阵A为预测滤波器的权重系数矢量；a_p为权重；K为阶数。在FLP滤波中，K的选择对滤波效果影响较大，其组成的时刻t之前的向量为

\( \mathit{\boldsymbol{X}}(t - 1) = {\{ x(t - 1), x(t - 2), \ldots , x(t - K)\} ^{\rm{T}}}。\)(6)

根据最小均方误差准则，定义FLP滤波均方差为

\( J(t) = E[{e^2}(t)], \)(7)

式中： \(e(t) = x(t) - \hat x(t)\) ，通过e(t)实现合适的权重值选取，其对权重的调整为

\( A(t - 1) = A(t) + \mu e(t)\mathit{\boldsymbol{X}}(t - 1)。\)(8)

式中：μ为正数常量，通过调整μ的取值，可以自适应地调节FLP滤波过程的收敛速度。一般情况下，取X(t-1)的自相关矩阵的最大特征值为λ_max，设定μ=1/λ_max。

2.3 算法实现

结合对FOG输出数据的分析，并通过2.1与2.2节中MEEMD分解和FLP滤波处理，实现对FOG输出数据的去噪，其步骤为

1) 在MEEMD分解过程中，通过设定PE阈值，将FOG输出数据分解为

\( {F_{{\rm{FOG}}}} = \sum\limits_{i = 1}^m {{F_{{\rm{imf}} - i}}} (t) + \sum\limits_{i = m + 1}^q {{F_{{\rm{imf}} - i}}} (t) + \sum\limits_{i = q + 1}^n {{F_{{\rm{imf}} - i}}} (t){\kern 1pt} {\kern 1pt} , \)(9)

式中： \(\sum\limits_{i = 1}^m {{F_{{\rm{imf}} - i}}} (t)\) 为前m个排列熵值大于0.6的IMF序列，其在FOG数据输出中可视为噪声项，在MEEMD分解中已将其滤除， \(\sum\limits_{i = m + 1}^q {{F_{{\rm{imf}} - i}}} (t)\) 为MEEMD分解且具有明显波动的IMF项， \(\sum\limits_{i = q + 1}^n {{F_{{\rm{imf}} - i}}} (t)\) 为余项。

分别将式(9)中的三组IMF分量记为噪声IMF分量、混合IMF分量以及余项IMF分量。在实际应用中，针对不同的IMF分量分别进行处理，以实现FOG输出数据的去噪。

2) 针对MEEMD分解过程中得到的第m+1至第q个分量(混合IMF分量)进行分析，这些IMF分量中包含了噪声和输出信号，通过FLP滤波算法进行噪声滤除，从而实现对IMF分量中有效信号的提取。通过对混合IMF分量进行更进一步的FLP处理，可以有效提高对FOG输出数据的降噪精度。

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