Asignación de recursos con eficiencia y justicia débil en el bienestar social utilitario

Abstract

Abstract: Currently, the problem of allocating non-divisible resources directly impacts the world of computing; for example, in the medical supplies distribution system. The strategy is to find efficient resource allocations, in the sense of Pareto optimality, considering social welfare criteria. The matrix approach and the assumption of nonnegative and additive utilities are fundamental for this research. Sea la fimción de utilidad de cada agente iE N. La matriz V e ЖлХт(Е.':) es una matriz de valuación si para cada i E N y para cada r E M, se tiene que [7] ¡r = i'ŕ(r).

Headnote

Resumen: En la actualidad, el problema de asignación de recursos no divisibles impacta directamente en el mundo de la computación; por ejemplo, en los sistemas de distribución de insumos médicos. Este trabajo propone un método para encontrar asignaciones eficientes y débilmente justas. La estrategia consiste en hallar asignaciones eficientes de recursos, las cuales son óptimas de Pareto, y consideran criterios de bienestar social. Para ello, se definen asignaciones transitorias en términos matriciales, y se demuestra que son equivalentes a todas las que maximizan el bienestar social utilitario. Luego, usando la función de bienestar de Nash, se demuestra que existen asignaciones transitorias que, globalmente, maximizan el bienestar social utilitario (eficientes) y localmente son libre de envidia de hasta un recurso (débilmente justas). El enfoque matricial y el supuesto de utilidades aditivas y no negativas son fundamentales en la propuesta.

Palabras-clave: bienestar social utilitario; asignaciones transitorias; óptimo de Pareto; utilidades aditivas.

Abstract: Currently, the problem of allocating non-divisible resources directly impacts the world of computing; for example, in the medical supplies distribution system. This work proposes a method to find efficient and weakly fair resource allocations. The strategy is to find efficient resource allocations, in the sense of Pareto optimality, considering social welfare criteria. To do this, transitional allocations, in terms of matrices, are defined, and it is shown that they are equivalent to all those that maximize utilitarian social welfare. Then, using Nash welfare function, it is shown that there are transitory allocations that maximize the utilitarian welfare, globally, and they are locally envy freeness up to 0ne good (weak justice). The matrix approach and the assumption of nonnegative and additive utilities are fundamental for this research.

Keywords: social utilitarian welfare; transitory allocations; Pareto efficiency; additive utilities.

(ProQuest: ... denotes formulae omitted.)

1.Introducción

La tarea de asignar justamente un conjunto de recursos indivisibles, entre un grupo de agentes, es de gran relevancia. Recientemente, se ha visto un creciente interés en las áreas de salud, economía, finanzas, inteligencia artificial y sistemas multiagente (Carvajalino, 2006; Endriss, Maudet, Sadri, y Toni, 2006; Chevaleyre, Endriss, y Maudet, 2017; Caragiannis y cols., 2019).

Una asignación de m recursos a n agentes, puede verse como una función, es decir, cada recurso es entregado una única vez a algún agente. Uno de los retos actuales en este campo es encontrar asignaciones que produzcan satisfacción social e individual entre los agentes. Este tipo de problema se conoce en la literatura como distribución justa de recursos.

La satisfacción social generalmente se mide a través de la propiedad de eficiencia de Pareto, también conocida como optimalidad de Pareto, la cual establece que la distribución de los recursos no puede ser cambiada para mejorar a un agente, sin perjudicar a otro, ver (Endriss, 2010; Thomson, 2011).

Por otra parte, la satisfacción individual involucra criterios de justicia, que pueden evaluarse a través de la propiedad libre de envidia. Una versión débil de esta propiedad es la libre de envidia de hasta un recurso, o justicia débil, ver (Brams, 1995; Chevaleyre, Endriss, Estivie, y Maudet, 2007; Chevaleyre y cols., 2017; Caragiannis y cols., 2019).

Para evaluar las propiedades de eficiencia y justicia es necesario conocer las preferencias que tiene cada agente sobre los recursos, y esto puede hacerse usando un enfoque cuantitativo, en el que cada agente define una función de utilidad, describiendo la valuación que le asocia a cada subconjunto de recursos. Otro enfoque utilizado es el cualitativo, en el cual, cada agente define sus preferencias a través de preórdenes (Pino Peréz, Varela Montilva, y Camacho, 2016; Camacho, Chacón, y Peréz, 2019). En este trabajo, estamos interesados en estudiar el enfoque cuantitativo.

Hallar asignaciones que satisfacen las propiedades descritas es un problema difícil, debido a que el conjunto de asignaciones aumenta a medida que crece el número de agentes o de recursos. Por esta razón, se clasifican las asignaciones a través de una función denominada bienestar social, denotada por SW (por sus siglas en inglés), considerando aquellas asignaciones que la maximizan, ver (Endriss y cols., 2006; Chevaleyre y cols., 2007; Endriss, 2010; Chevaleyre y cols., 2017; Caragiannis y cols., 2019). Un Sw natural es el bienestar social utilitario, el cual se define como la suma de las utilidades que los agentes dan a lo asignado.

Las asignaciones que maximizan el SW utilitario son óptimas de Pareto; sin embargo, generalmente no son justas, ya que puede ocurrir que solo algunos agentes obtengan todos los recursos y el resto ningún recurso. Otro índice para el SW es el bienestar social de Nash, este se obtiene multiplicando las utilidades de los recursos asignados a cada agente. En (Caragiannis y cols., 2019), se demuestra que las asignaciones que maximizan el SW de Nash son óptimas de Pareto y débilmente justas, en el sentido que cumplen la propiedad de libre de envidia de hasta un recurso.

En este trabajo, se propone una estrategia para encontrar asignaciones que maximicen el SW utilitario. Se redefine el problema sobre los agentes que dan mayor utilidad a cada recurso, en función del SW de Nash, obteniéndose la propiedad libre de envidia de hasta un recurso.

La propuesta se basa en representar el problema desde un punto de vista matricial tal y como se propone en (Camacho y cols., 2019), pero tratado en forma cuantitativa y no cualitativa. Para ello se define, en términos matriciales, las asignaciones, las valuaciones y las utilidades de cada asignación. Con estas premisas se presentan las propiedades de optimalidad de Pareto, libre de envidia y libre de envidia de hasta un recurso. Estas nociones se desarrollan en la sección 2. En la sección 3, se muestra una estrategia para hallar las asignaciones que maximicen el bienestar social utilitario, definiendo asignaciones transitorias. En esta sección se desarrolla la teoría para demostrar que estas asignaciones coinciden con las que maximizan el bienestar social utilitario, debido a que estas, generalmente, no poseen propiedades de justicia. También se demuestra en la sección 3 que, en el conjunto de todas las asignaciones transitorias se encuentran asignaciones que, bajo ciertas restricciones, son libres de envidia de al menos un recurso. Finalmente, en la última sección se presentan las conclusiones e ideas a trabajar en el futuro.

2.Preliminares

Esta sección se presenta la primera aportación de este trabajo, que es la definición de los conceptos básicos, siguiendo un enfoque matricial cuantitativo, de la asignación de recursos no divisibles. Esta sección también incluye la notación utilizada en este documento y concluye con las definiciones formales de eficiencia y justicia.

2.1.Nociones básicas y notación

El coniunto de agentes y el conjunto de recursos indivisibles se denotan con IV = (1, * * *, n) y M = {1, - ,m], respectivamente. Cada agente i t N tiene una función de utilidad, v¡, aditiva y no negativa: esto es, una función vt\2M - R· tal que V£ £ M, i?¡(£) > 0, vi) - Les ví (/O y Cl13) - 0, donde R· esel conjunto de los números reales no negativos incluyendo el cero. El conjunto de todas las matrices de tamaño n x m con entradas en el conjunto К se denotará por M'nXm(F). En estas matrices, las filas representan a los agentes y las columnas a los recursos. Es decir, si F E MnXm(K), entonces la posición (i,r), denotada por [F] se refiere al agente i y al recurso r. Por otro lado, [F]denota la i-ésima fila de Fy la columna r-ésima de F.

La matriz V e >fnxm(R"), representará las funciones de utilidad de todos los agentes, esta matriz se denominará matriz de valuación.

Definición 1. Sea la fimción de utilidad de cada agente iE N. La matriz V e ЖлХт(Е.':) es una matriz de valuación si para cada i E N y para cada r E M, se tiene que [7] ¡r = i'ŕ(r).

A continuación, se define una matriz de asignación de M en N, para ello se considera el conjunto В = {0,1}.

Definición 2. Se dice que F e Mnxm(B) es una asignación de M en N si para cada columna r con 1 < r < ni, existe un único i con 1 < i < n tal que [F]ír = 1 g [F] ¡r = 0 para todoj con j Ф i.

Cada columna de la matriz de asignación F representa un recurso, para el cual existe exactamente una entrada con el valor uno y el resto de las entradas tendrá el valor cero. La fila correspondiente a la posición con el valor uno representa al agente al que le fue asignado el recurso.

Se denotará por <A, Л c M'nXm(B), al conjunto formado por todas las asignaciones de M en N. Para cada asignación F E Л, definiremos una matriz, que llamaremos matriz de las utilidades de F, denotada como UF, en cuyas entradas se tiene la información de los "valores de las utilidades" de todos los recursos asignados para cada agente.

Definición 3. Para cada asignación F E Л, la matriz de utilidades de F, denotada por Up, se define como:

... (1)

donde V es la matriz de valuaciones y FT es la transpuesta de F.

Se observa que UFE Mnxn (ПГ) y además [UF]¡j = T™=1[ V]ífc * [FT]lT Por lo tanto, la posición [i/jr]ii es la valuación que da el agente i a lo asignado a través de F; mientras que, [UF] , ¡ es la valuación que da el agente i a lo asignado, a través de F, al agente j.

A continuación, se muestra la relación de estas representaciones matriciales con las funciones bienestar social utilitario y bienestar social de Nash.

Definición 4. El bienestar social utilitario de FEUł, denotado por SWU (F), se define como

... (2)

donde UF es la matriz de utilidades de Fy traz(UF) = V.bV [ UF\ ř!-.

De manera similar, el bienestar social de Nash de F E Л, denotado por Fli/Vciířl(F), se define como

... (3)

donde UF es la matriz de utilidades de F y prod{UF) = ГЪелг [?]^.

A partir de los SW, y con el objeto de comparar asignaciones, se definen relaciones binarias sobre JL, denotadas por ?= con subíndice cuando sea necesario.

Definición 5. Sea SW una función de bienestar social. La relación ? que clasifica a JŁ según SW se define como

... (4)

Se intemreta F > G como "F tiene mejor o igual bienestar social que G si y solo si SW(F~) > ÍVE(G)". Si una asignación maximiza el SWse dice que es un máximo bienestar social, y se denotará por MSW al conjunto de todos los máximos, es decir

... (5)

Para evitar ambigüedades, se utilizará la notación Sq, y MSWU cuando se trate de FHq, y se utilizarán ¾?? y MSWNash cuando se trate de

Ejemplo 1. Supóngase que la matriz de valuaciones V está definida para tres agentes y cuatro recursos, tal como se muestra en la Fig. 1. En este caso, el agente 1 da mayor utilidad al recurso 1 y menor utilidad al recurso 3; también se puede observar que al recurso 3 lo prefiere más el agente 2.

En la asignación F puede verse que el primer agente tiene los recursos 1 y 4, el agente 2 el recurso 3 y el agente 3 el recurso 2.

La matriz de utilidades de F, IIF, permite comparar las valuaciones entre los agentes. En esta matriz, [?|12 = 0 indica que el agente 1 evalúa con cero la asignación que recibió el agente 2. En [?]13 se aprecia que el agente 1 evalúa con 29 lo asignado al agente 3; mientras que [Щи = 71 indica la valuación que da el agente 1 a lo que recibe.

...

Si se compara G con F, es posible observar que:

...

De manera que, F Sq, G y F >1?_? G. Luego F tiene mej or bienestar social, tanto utilitario como de Nash, que G.

2.2.Eficiencia y justicia

Como ya se indicó, para la propiedad de eficiencia se busca la optimalidad de Pareto. Una asignación cumple con esta condición, si no existe otra que mejore estrictamente la utilidad de lo asignado a un agente sin empeorar la utilidad de otro. Formalmente,

Definición 6 Una asignación F E Л es óptima de Pareto si,

... (6)

En el ejemplo 1, se puede observar que G no es óptima de Pareto. Ahora bien, asignaciones eficientes pueden conseguirse maximizando el bienestar social utilitario.

Lema i Toda asignación que maximiza el bienestar social utilitario es óptima de Pareto.

Demostración: Sean F E MS Wu y G t A tal que [Í/G]y > [í/f]M para algún i. Para demostrar que F es óptima de Pareto, suponga que para todo j E N, se tiene que i d 1 > .-' . Como las utilidades son aditivas y no negativas,

... (7)

Pero, [Í/G]" > [i/fLuego, 51PU(G) >Siy,(F). Contradicción, pues F 6 MSWU. Luego, existe j EN tal que [?];/ > [UG]Por lo tanto, F es óptima de Pareto.

Las asignaciones que maximizan el bienestar social de Nash también son óptimas de Pareto (ver Teorema i). Sin embargo, no se Duede asegurar aue toda asignación con la propiedad de optimalidad de Pareto es MSWU o bien MSWVctsň. Más aún, decidir cuando una asignación es óptima de Pareto es un problema complicado, ver (de Keijzer, Bouveret, Klos, y Zhang, 2009).

Con relación a la justicia, la propiedad de libre envidia es quizás la más deseada, pero en bienes indivisibles es difícil de determinar. Esta característica busca medir la equidad con ausencia de envidia; en otras palabras, cada agente debe recibir los recursos que él considera al menos tan buenos, como los recursos recibidos por cualquier otro agente.

En el marco matricial, la envidia se determina en cada fila de la matriz de utilidades. Esto es, cada elemento de la diagonal en la matriz de utilidades de la asignación es mayor o igual que las otras entradas de la fila correspondiente. Formalmente,

Definición 7. Una asignación F E Л es libre de envidia si,

... (8)

En el ejemplo 1, las asignaciones F y G no son libre de envidia. En el siguiente ejemplo se puede encontrar dos asignaciones que son libres de envidia y una de ellas no es óptima de Pareto.

Ejemplo 2. Considérense tres agentes y cuatro recursos. La matriz de valuaciones V y las asignaciones H y H· están dadas por

...

Con matrices de utilidades ? y ?·, dadas por

...

Puede observarse que H y H· son libres de envidia. Sin embargo, H no es óptima de Pareto, pues H· mejora a H en el agente 2 y no perjudica a ningún otro.

Las asignaciones en MSWU y en M£WVas(ļ son óptimas de Pareto, pero no siempre libres de envidia. Más aún, determinar si una asignación posee ambas propiedades es un problema complicado y estudiado en (de Keijzer y cols., 2009).

Una versión débil de libre envidia es la libre envidia de hasta un recurso, cuyo objetivo es eliminar la envidia, si existe, quitando un recurso. En otras palabras, para cada par de agentes i yj, existe un recurso que puede eliminarse de los recursos asignados al agente j de manera que el agente i no envidie a j.

Definición 8. Una asignación F E <A es libre de envidia en al menos un recurso, denotada por EFi (por sus siglas en inglés), si

... (9)

Todas las que maximizan el bienestar social de Nash son libre de envidia en al menos un recurso, se puede ver la demostración en (Caragiannis y cols., 2019).

Teorema 1 (Caragiannis et al. 2019). Bajo el supuesto que todos los agentes tienen valuaciones aditivas. Si F maximiza el bienestar social de Nash, entonces F es óptima de Pareto y libre de envidia en al menos un recurso.

Encontrar asignaciones eficientes y justas puede demandar muchos recursos computacionales. Se necesitan métodos explícitos para encontrar asignaciones con estas propiedades. La propuesta de este trabajo pretende avanzar en el objetivo de disminuir los costos computacionales del cálculo de asignaciones al utilizar una representación matricial de los elementos involucrados en el proceso de asignación.

3.Máximo bienestar social utilitario

Esta sección presenta una estrategia para hallar una asignación que maximice el bienestar social utilitario, es decir que esté en MSWU. Esta se fundamenta en encontrar las asignaciones transitorias. Posteriormente, se demuestra que las asignaciones transitorias son localmente EF1.

3.1. Asignaciones transitorias

La estrategia propuesta en este trabajo se basa en hallar asignaciones donde los agentes reciben los recursos que dan mayor utilidad. Para ello, se considera una matriz, en MnX]T!(B), que se llamará matriz de transición. En esta matriz, tal como se hizo en la matriz de valuación, los agentes se representan en las filas y los recursos en las columnas. En cada fila se identifica a los recursos que maximiza el agente correspondiente o, equivalentemente, en cada columna se identifican los agentes que maximizan al recurso correspondiente.

Definición 9 Una matriz T E " (B) es llamada de transición si, para todo i E N y todo r E M se tiene que [T]ir = 1 siempre que [P]¡r E max{[F]kr: 1 < к < ?i}, y [ľ],,, = 0, en otro caso.

Se entiende entonces aue [T] ir = 1 significa que el agente i da máxima utilidad al recurso r, mientras que \J] ir = 0 significa que el agente i no maximiza al recurso r.

La matriz de transición se considera de valuación, siempre que cada función de utilidad tome valores de B. Esta particularidad, podría interpretarse como la preferencia de los agentes por cada recurso. A continuación, se definen las asignaciones transitorias.

Definición 10. Sea Tuna matriz de transición y F E Л. Se dice que Fes una asignación transitoria si,

... (10)

Dado que F e Л, para cada r e M el índice ir para el cual [F] = 1 es único. Además, para todo j E N con j Ф ir se cumple que [F]jr = 0, y [K], r > [V] ,,..

Si se considera F, F· y la G del ejemplo i, ver figura i, se observa que F y F· son transitorias, pero G no lo es. Más aún, tanto F como F" son MSWU.

El siguiente resultado garantiza que toda asignación está en MSWU si y solo si es transitoria.

Teorema 2. Una asignación es transitoria si, y solo si, maximiza el bienestar social utilitario.

Demostración: Sea Funa asignación transitoria v sea G E Л, se quiere demostrar que (f ) > es decir, que traz(UF) > traz(UG). Para ello, se observa que

... (11)

La demostración se realiza utilizando inducción sobre m = \M\. Comprobando que

... (12)

Para |AÍ| = 1, existe N tal que [F]ři, = 1 y para / Ф ? [P];1 = 0. Como F es transitoria, [V]ř > [Р]а para todo j E IV. Por otro lado, existe í" E IV tal que [C]¡>=1y para todo} Ф iK, [С]д = 0. De esta manera, [P]¡i i [ŕ"ť]lf] > [ľ]^ [Gf]lř> y, además

...

luego,

...

Por lo tanto,

...

Asumir ahora, por hipótesis de inducción, que para \M\ = m - 1 se cumple la ecuación (12). Entonces, para \M\ = m, se tiene que

...

De manera que, la ecuación (12) se cumple para todo ni. Luego, iHiiJ7) > SHi/G). Para el recíproco, sea Tía matriz de transición y F E MSWu. Razonando por el absurdo, asuma que F no es transitoria. De acuerdo con la definición ro, existe r E M tal que |f |, = 1 у [71ц_г = 0. Por otro lado, algún agente distinto a ir maximiza a r, es decir, existe j, E N con jT Ф ¿r tal que [Tļj r = 1. Ahora bien, si G € Л es tal que F = G excepto en la columna r, y la columna r se define como: [G\ JrT = 1 y [<7]/r = 0 para todo * =; , entonces

...

dado que [V]jrr > [P]¡-; r (jr maximiza a ?*).

De manera que,

...

Luego,

...

lo cual contradice que FE MSWU. Por lo tanto, F es transitoria.

Un resultado que se obtiene del teorema anterior y el lema 1 es el siguiente:

Corolario 1 Toda asignación transitoria es óptima de Pareto.

3.2.Asignaciones transitorias y la EFi

Una manera de encontrar asignaciones MSWU y EFr es seleccionando aquellas que maximicen tanto el SWNash como el 51?. Puede observarse en la figura r que de todas las posibles asignaciones en el ejemplo r, solo dos maximizan la función F y F·.

Adicionalmente, si sobre el mismo conjunto de 8r asignaciones posibles se maximiza la función se obtiene una única asignación que, en este caso, coincide con F·. Por el teorema r, F· es óptimo de Pareto y EFr, y por lo tanto se tiene una asignación que es EFr y también es MSWU.

Desafortunadamente, que ocurra MSWU П MSWNash Ф 0 no es común. En otras palabras, no necesariamente una MSWHesłt es transitoria. En la figura 2, encontramos un problema de asignar tres recursos en tres agentes. La matriz de transición T genera solo una asignación transitoria F, que por el teorema 2, es MSWU. Se observa que, en este caso, F· es MS]V4ash pero no transitoria.

A continuación, se prueba que es posible encontrar asignaciones que maximizan, de manera global, el bienestar social utilitario y que, localmente, son libres de envidia en hasta un recurso. Esto lo resume el siguiente teorema.

Teorema 3. Existe una asignación que maximiza el bienestar social utilitario y es libre de envidia de hasta un recurso, para los agentes que maximizan la utilidad.

Demostración: Sea V la matriz de valuación del problema de distribuir los M recursos en los N agentes. Considerar la matriz V· tal que para todo iE N y todo rEÍÍ, [P"]ŕf. = [E]¡r si [V]ir E max{|V]jrq E)V}y [V·1n- = 0 en otro caso. En otras palabras, V· es igual a Ven las posiciones donde un agente maximiza el recurso correspondiente y 0 en las otras posiciones. Notar que V es otra matriz de valuación. Claramente, las asignaciones transitorias en V y en V· son las mismas y, por el teorema 2, ambas maximizan el bienestar social utilitario. Denotar por T el conjunto de todas las matrices transitorias. Usando SWNosh con V·, se clasifica T a través de ???.

De acuerdo al teorema r, al tomar una asignación GET que maximiza el WVasfl con V·, y por la definición de V, se puede asegurar que G es libre de envidia de hasta un recurso para los agentes que maximizan los recursos y, por estar en T, maximiza el bienestar social utilitario en V.

4.Conclusiones y perspectivas

Este trabajo presenta una estrategia para hallar asignaciones que maximizan el bienestar social utilitario y que cumplen con las propiedades de eficiencia de Pareto y libre de envidia de hasta un recurso (débilmente justas). Para lograr este objetivo, se ha definido una asignación transitoria, demostrando que satisface la optimalidad de Pareto, y además que el conjunto de todas las asignaciones transitorias es exactamente igual a MSWU.

La propuesta matricial permite determinar explícitamente cuando una asignación es MSWU, Mas aún, genera en forma natural, mecanismos para visualizar las propiedades de eficiencia y justicia de una asignación. El próximo Daso será investigar la posibilidad de hallar en forma explícita las asignaciones en MSlVVilsi; además, existen otras propiedades de justicia para MSWU que sería interesante analizar.

Por otra parte, se ha observado que existe cierta relación entre las "asignaciones buenas", asignaciones que maximizan el bienestar social cualitativo y las asignaciones transitorias. Aunque los supuestos iniciales en los problemas que definen estas asignaciones son diferentes, se cree que, en algún sentido, estos conjuntos son equivalentes. En ese caso, técnicas como las propuestas en este trabajo, podrán ser útiles para encontrar "asignaciones buenas", en un marco cualitativo, que sean libre de envidia en al menos un recurso.

References

Referencias

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