Resumo
O artigo discute parte dos dados de uma investigaçâo realizada com professoras dos Anos Iniciáis em formaçâo. Dentre os objetivos formativos que possuíamos, destacamos que a finalidade deste é compreender como ocorreu a aprendizagem das operaçöes de adiçâo e subtraçâo a partir da compreensäo da estrutura interna do sistema de numeraçâo, sendo por intermédio de atividades de ensino desenvolvidas com as quatorze licenciandas matriculadas na disciplina "Conteúdos e processos de ensino de Matemática", do 4° período da licenciatura em Pedagogia da Universidade Estadual de Goiás - Campus Quirinópolis. Na busca por respostas de como aconteceu essa aprendizagem, foi organizado um experimento formativo, posto aqui como caminho metodológico da pesquisa. Nesse viés o experimento buscava criar situaçöes para que a aprendizagem dessas operaçöes se materializasse. O método de investigaçâo escolhido foi o materialismo histórico dialético. Concernente a tais escolhas, a estrutura de análise é composta de unidade, episódio, cenas e flashes. Os resultados dâo indícios de que as licenciandas compreenderam que os sistemas de numeraçâo possuem uma lógica interna válida para todas as bases numéricas que os compöem e, a partir dessa conexâo interna do sistema de numeraçâo, é possível realizar as operaçöes de adiçâo e subtraçâo como parte dessa operacionalizaçâo interna do sistema. Concluímos que as licenciandas se apropriaram da relaçâo essencial dos sistemas de numeraçâo, a formaçâo de suas ordens e a genese das operaçöes de adiçâo e subtraçâo.
Palavras-chave: Formaçâo de Professores dos Anos Iniciais. Sistema Numérico. Adiçâo e Subtraçâo. Experimento Formativo.
Abstract
The article discusses part of the data of an investigation carried out with elementary school teachers. Among the formative objectives we had, we emphasize that the purpose of this study is to understand how the learning of addition and subtraction operations occurred from the apprehension of the internal structure of the numbering system through teaching tasks developed with the fourteen students attending the "Mathematics contents and teaching processes" subject of the 4th period of Pedagogy at Goiás State University - Quirinópolis Campus. In search for answers as how this learning happened, a formative experiment was organized, named here as research methodological path. In this bias, the experiment sought to create situations to make the learning of these operations feasible. The research method chosen was the dialectical and historical materialism one. Concerning such choices, we have a structure of analysis composed of unity, episode, scenes, and flashes. The results give us indications that the undergraduates understood that the numbering systems have an internal logic that is valid for all the numerical bases composing them, and that, from this internal connection of the numbering system on, it is possible to carry out the addition and subtraction operations, as part of this internal system operationalization. We concluded that the undergraduates have appropriated the essential relation of the numbering systems, the formation of their orders, and the genesis of addition and subtraction operations.
Keywords: Elementary School Teacher Education. Numbering System. Addition and Subtraction. Formative Experiment.
1 Introdução
A investigaçao que deu origem a esse artigo foi desenvolvida no contexto da formaçao de professores que ensinam Matemática nos Anos Iniciais, mais específicamente acerca do modo de organizaçao do ensino da Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental. A partir destas conjecturas foi elaborada uma proposta de organizaçâo dos conceitos matemáticos desenvolvida no ámbito da disciplina "Conteúdos e processos de ensino de Matemática", ofertada no 4° período da Licenciatura de Pedagogia da Universidade Estadual de Goiás - Campus Quirinópolis. O desenvolvimento de tal disciplina tornou-se o contexto empírico do experimento formativo, sendo o mesmo sustentado no materialismo histórico dialético. Entretanto, para a construçao desse trabalho fizemos um recorte na pesquisa, de modo que fosse dado destaque ao entendimento das operaçöes de adiçao e subtraçao por meio da compreensao da estrutura interna do sistema de numeraçao. Ou seja, demos enfase para a operacionalizaçao do sistema de numeraçao, na especificidade da adiçao e da subtraçao.
Com essa proposta formativa, que possuía entre seus objetivos a aprendizagem de conceitos matemáticos, mediante a organizaçâo do ensino que privilegiasse os nexos internos existentes nos conceitos matemáticos ensinados nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, esse artigo tem como objetivo específico compreender como ocorreu a aprendizagem das operaçöes de adiçao e subtraçao, a partir da compreensâo da estrutura interna do sistema de numeraçao por intermédio de atividades de ensino desenvolvidas com as quatorze licenciandas em Pedagogia, em uma Instituiçao de Ensino Superior goiana.
Diante de tal contexto, acreditamos que as açöes desenvolvidas de acordo com as bases materialistas histórico-dialéticas, como aqui propostas, é um dos encaminhamentos possíveis para o entendimento e necessária superaçao do atual modo de organizaçao do ensino de Matemática nas Séries Iniciais, consoante pesquisadores como Madeira (2012), Souza (2013), Rosa, Damazio e Alves (2013), Rosa, Damazio e Crestani (2014), Sousa (2014) e outros. Os mesmos aconselham que o ensino de Matemática no Brasil, em especial nas Séries Iniciais do Ensino Fundamental, no que tange a apreensao das operaçöes de adiçao e subtraçao por meio da compreensao da estrutura interna do sistema de numeraçao deva contemplar a relaçao universal válida para todas as bases numéricas. Desse modo, há condiçöes de superar as proposiçöes que se limitam ao sistema de numeraçao decimal, por contemplar todas as bases, mas também dando conta dessa particularidade.
Para que se possa entender as açöes que antecederam a elaboraçao desse artigo, inicialmente buscaremos compreender o objeto de pesquisa a partir da concepçao teórica adotada para a mesma; depois será discutido o método e a metodologia escolhidos. Após, traremos o desenvolvimento da estrutura de análise composta de unidade, episódio, cenas e flashes. Por fim, algumas consideraçöes acerca da investigaçao realizada.
2 A problemática da pesquisa vista a partir de sua base teórica
Inúmeras sao as dificuldades apresentadas por professores dos Anos Iniciais e seus alunos durante o processo de aprendizagem dos conceitos matemáticos, inclusive aqueles considerados básicos, como, por exemplo, o sistema de numeraçâo e as operaçöes de adiçâo e subtraçâo. Tais problemas sao decorrentes da falta de compreensao por parte de alunos e de seus professores da estrutura interna que organiza e sustenta tais conceitos (MOURA et. al., 2010; ROSA; DAMAZIO; ALVES, 2013; ROSA; DAMAZIO; CRESTANI, 2014). Na concepçao de Rosa (2012), as proposiçöes para o ensino de Matemática, nas Séries Iniciais, apresentadas em grande parte dos livros didáticos brasileiros, aproximam-se daquela denominada por Davydov (1982) de tradicional. Segundo esse autor, a principal finalidade do ensino escolar tradicional é "inculcar nas crianças generalizaçöes e conceitos empíricos" (DAVYDOV, 1982, p. 14).
Conforme Davydov, o processo de generalizaçao, no ensino tradicional, ocorre por meio da passagem, da descr^ao dos nexos externos do objeto para separá-los em uma classe comum. Neste movimento generalizador os alunos destacam algumas características que se repetem nos diferentes objetos e as separam das demais, que nao se repetem.
Ao terminarem o processo de generalizaçao, os alunos separam, nos objetos, as características variáveis das invariáveis e as abstraem, tal como ocorre atualmente na maioria das proposiçöes brasileiras para o ensino de Matemática nas Séries Iniciais (ROSA; DAMAZIO; ALVES, 2013). "As características da abstraçao, generalizaçao e conceito, desenvolvidas no ensino tradicional, coincidem rigorosamente com a descr^ao da lógica formal tradicional" (DAVYDOV, 1982, p. 45).
Mas, em que consistem a abstraçao, generalizaçao e conceito, de acordo com os fundamentos da lógica formal tradicional? O termo generalizaçao na lógica formal tradicional, segundo Davydov (1982), é utilizado para designar múltiplos aspectos do processo de apropriaçao dos conhecimentos pelos alunos. A generalizaçao formal está conectada ao processo de abstraçao, pois o conhecimento do geral, fixado em um signo, resulta em algo abstrato.
O conceito, nesta mesma lógica, "é a forma na qual se refletem as características essenciais do objeto" (ROSENTAL, 1962, p. 233). Seu processo de formaçao está associado ao "simples descobrimento e separaçao de qualquer indicio comum entre os mais diversos objetos" (KOPNIN, 1978, p. 155). De acordo com Rosa (2012), o processo de generalizaçao empírica, continuamente repetido nos processos formativos dos professores dos Anos Iniciais, acaba por encaminhar esses professores (ao assumirem suas salas de aula) a busca e nomeaçao "por meio da palavra, de certo invariante entre a diversidade de objetos e suas propriedades [...], como também a identificaçao dos objetos na diversidade dada com a ajuda do invariante escolhido" (DAVYDOV, 1982, p. 13).
Essa lógica, conforme nossa proposiçao teórica (que é apenas uma das opçöes de compreensao do mundo ao nosso derredor) nao dá conta de representar, no pensamento, o movimento da realidade. Para tal captaçao, deve-se considerar a necessidade da lógica dialética. Isto porque, de acordo com essa opçao teórica, as leis da lógica dialética sao exatamente as que dirigem o movimento objetivo da realidade, transformadas em leis do pensamento, que a nós se apresentam por meio de conceitos de máxima generalidade. Entao, por que temos a continuidade e predomínio dos fundamentos da lógica formal nas proposiçöes brasileiras no que tange a formaçao de professores para os Anos Iniciais e para o ensino de conceitos matemáticos nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental?
De acordo com Mészáros (2008, p. 25), "os processos educacionais e os processos sociais mais abrangentes de reproduçao estao intimamente ligados". Isto significa que há uma conexao entre os processos formativos desses professores, a forma como está organizado o ensino de Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental e o atual modo de produçao capitalista.
Tais reflexöes podem ajudar na compreensao das razöes que determinam o predominio dos fundamentos da lógica formal na maioria das proposiçöes brasileiras de ensino de Matemática e para o processo formativo de professores de Matemática das Séries Iniciais. Ou seja, é uma questao de coerencia com o próprio modo de produçao vigente. Esta questao tornase ainda mais complexa, porque a reformulaçao significativa dos processos formativos de professores para as Séries Iniciáis do Ensino Fundamental e, posteriormente, a reorganizaçao do ensino de Matemática nessas séries é inconcebível "sem a correspondente transformaçao do quadro social no qual as práticas educacionais da sociedade devem cumprir as suas vitais e históricamente importantes funçöes de mudança" (MÉSZÁROS, 2008, p. 25).
E agora? O que fazer? Simplesmente esperar uma transformaçao de tal realidade social? Nao, afinal a educaçao escolar compöe-se como possibilidade de, no processo de luta pela transformaçao das condiçöes alienadoras de nossa sociedade, as quais impedem a formaçao humano-genérica dos sujeitos, permitir a objetivaçao de um determinado projeto de sociabilidade. Nao se pode aguardar inerte, mas sim movimentar pela pesquisa, afinal, de acordo com Kopnin (1978, p. 228) a "pesquisa autenticamente científica está imediatamente voltada para a procura de formas e ideias segundo as quais o mundo deve ser mudado".
A pesquisa tinha como hipótese que as professoras em formaçao podiam desenvolver o pensamento teórico acerca das operaçöes de adiçao e subtraçao por meio da apropriaçao da estrutura interna do sistema de numeraçao. Em outras palavras, almejava-se organizar e estruturar o ensino de conceitos matemáticos na disciplina que subsidiava o experimento formativo, de forma tal que beneficiasse a aprendizagem de conceitos científicos com potencial para o desenvolvimento do pensamento teórico.
Entretanto, o desenvolvimento do pensamento teórico nao ocorre mediante generalizaçöes empíricas. É imprescindível a revelaçao de "certa sujeiçao a lei, uma interrelaçao necessária dos fenómenos particulares e singulares com a base geral de certa totalidade, descobrindo assim a lei de formaçao da unidade interna deste" (DAVIDOV, 1988, p. 152). Essa generalizaçao nao se alcança mediante a simples comparaçao dos traços de objetos isolados, o que é característico da generalizaçao puramente indutiva, "mas por meio da análise da essencia dos objetos e fenómenos estudados; sua essencia define-se precisamente pela unidade interna de sua diversidade" (DAVIDOV, 1988, p. 152).
Buscamos, ancorados nessas proposiçöes davydovianas, a lógica do conceito do sistema de numeraçao, a formaçao das diferentes ordens de medidas a partir dos agrupamentos, seus nexos internos - quantificaçao, medida e unidade de medida - e sua consequente interdependencia no entendimento das operaçöes de adiçao e subtraçao. Tal lógica reflete a sua história, porém sem repeti-la fielmente, mas refletindo-a. Afinal, históricamente, os agrupamentos eram realizados nas diferentes bases.
Assim, por que nao propor um ensino do sistema de numeraçao que transite pela lógica comum das diversas bases numéricas particulares? Nesse entendimento, intencionalmente, mediou-se o processo de aprendizagem de conceitos matemáticos as professoras em formaçao, criando condiçöes para que alguns questionamentos surgissem: Como esse movimento se expressa na operacionalizaçao do sistema de numeraçao decimal vigente? E ainda, como o sistema de numeraçao se expressa nas operaçöes fundamentais de adiçao e subtraçao?
Ao encontro das possíveis respostas a essas questöes, foram sendo criadas condiçöes para que se apercebessem de que o movimento conceitual posto a elas, adotado na proposiçao de ensino das operaçöes de adiçao e subtraçao, a partir do entendimento da estrutura interna do sistema de numeraçao, contemplava a unidade entre o lógico e o histórico. Para Rosental (1960, p. 330), "a unidade do lógico e do histórico se expressa, também, na complexa conexao dialética existente entre o universal, o particular e o singular".
Neste sentido, e com a finalidade de interpretar com profundidade o movimento conceitual referente ao entendimento da estrutura interna do sistema de numeraçao e sua interconexao com as operaçöes de adiçao e subtraçao, adotamos como método o materialismo histórico dialético e, como metodologia de pesquisa o experimento formativo. Tais opçöes se sustentam na ideia de Kosik (1995, p. 28) de que "nao é possível compreender imediatamente a estrutura da coisa ou a coisa em si mediante a contemplaçao ou a mera reflexao, mas sim, mediante a uma determinada atividade" (p. 28).
Assim, a opçao pelo desenvolvimento do experimento formativo com as professoras em formaçao passou necessariamente por uma atitude ativa do sujeito perante o objeto de conhecimento e, portanto, sugere uma dimensao prática da atividade. A seguir será mostrado como o experimento se organizou e se objetivou sustentado nas premissas do materialismo histórico dialético.
2.1 Método e metodología: elementos delineadores da trajetória investigativa
Fazer a escolha pelo materialismo histórico dialético como método de pesquisa pressupôs defender a visao de que escolher um método de conhecimento implica apoiar-se numa estrutura teórica que consente a interpretaçao do movimento entre os acontecimentos produzidos históricamente, a realidade objetiva e o desenvolvimento do pensamento. Assim, segundo Kopnin (1978, p. 91), o método é "um meio de obtençao de determinados resultados no conhecimento e na prática".
De posse dessas perspectivas teóricas, buscamos explicaçöes coerentes e lógicas para o fenómeno formativo docente que se delineava aos órgaos da nossa individualidade humana, fenômeno esse que é também da natureza e da sociedade. Nessas condiçöes o materialismo histórico dialético convinha sobremaneira como método que permite a inclusao das leis sociológicas caracterizantes da vida humana social. Sendo, portanto, imprescindível para a compreensâo "do desenvolvimento e da explicitaçâo dos fenómenos culturais partindo da atividade prática objetiva do homem histórico" (KOSIK, 1995, p. 39). Ou seja, se instituía adequadamente para apreender e reproduzir no pensamento o movimento do real, estando dessa forma intimamente ligado ao fenómeno e a sua genese, que é revelada por ele.
Na busca pela compreensao da verdade acerca do fenómeno investigado, planejou-se e foi desenvolvido com elas um experimento formativo durante um semestre letivo (64h\a como carga horária semestral e 4 aulas semanais). Segundo Davydov e Markova (1987, p. 326), o experimento formativo "é uma estrutura de investigaçâo do desenvolvimento da psique humana, que possui suas bases nos trabalhos de Vigotski".
Vigotski (2003) considerava que, somente por intermédio da análise experimental, era possível revelar toda a essencia do processo genético de desenvolvimento da psique humana e que esse tipo de investigaçâo seria a "chave para a compreensao do processo pelo qual a formaçâo do conceito se desenvolve na vida humana real" (VIGOTSKI, 2003, p. 86). Seria, entao, a essencia do experimento formativo expressada "[...] no estudo dos processos e novas formas da psique, no estudo das condiçöes do surgimento das condiçöes necessárias para que surjam" (DAVYDOV; MARKOVA, 1987, p. 326).
Na busca por conhecer e compreender o fenómeno que ali se desenrolava, todo o desenvolvimento do experimento formativo foi registrado de forma audiovisual. Tais gravaçöes foram transcritas na íntegra e se tornaram nosso universo de dados da pesquisa que, posteriormente, seriam analisados para que alcançâssemos o objetivo da pesquisa como um todo e, também, desse artigo.
Para facilitar a compreensao da estrutura e desenvolvimento do experimento formativo, foi elaborada a seguir a decomposiçâo - para fins didáticos - do mesmo em seus momentos no Quadro 1. Didático, porque o mesmo nao aconteceu nesses momentos estanques e delineados, sendo a todo tempo sustentados pela premissa do movimento, onde tudo é determinado por elementos contraditórios convivendo numa totalidade estruturada.
Como observável no Quadro 1, o experimento formativo foi organizado e desenvolvido de acordo com os pressupostos teóricos que o alicerçavam, entretanto, era preciso uma estrutura analítica em que o fenômeno estudado fosse apresentado ao leitor de tal forma que ele o apreendesse em sua totalidade. Para tanto, sao imprescindíveis aproximaçöes sucessivas e cada vez mais abrangentes, pois isso o tornara acessível. Dessa forma, é possível detectar as exterioridades das coisas, incluindo os aspectos da omnilateralidade, fenômeno no qual o homem nao desenvolve potencialidades humanas inatas, mas as cria, como produto e produtor das várias determinaçöes sociais.
Essa composiçao para a análise pretende gradativamente apreender o movimento de compreensao das operaçöes de adiçao e subtraçao e de suas interconexas relaçöes com o sistema de numeraçao no próprio devir do experimento. Tais peculiaridades serao evidenciadas na unidade de análise, seu episódio, suas cenas e inúmeros flashes, como exposto a seguir.
3 Análise dos dados
Como destaca Araújo (2003, p. 5), o "método de exposiçao só é possível depois de um longo percurso de investigaçao, que exige trabalho analítico rigoroso". Além disso, em coerencia com o materialismo histórico dialético, a exposiçâo nao se limita a simples descriçâo, mas contempla a explicaçâo. Trata-se da análise explicativa em detrimento da descritiva. Como resultado da análise explicativa, alcança-se a verdadeira concreticidade do fenómeno.
Nessa trajetória, definimos, a partir dos dados obtidos na forma de gravaçâo audiovisual de todos os momentos do experimento formativo realizado com as professoras em formaçâo, uma unidade que seria, conforme Vigotski (2001, p. 19), "[...] uma parte viva e indivisível da totalidade".
Dessa unidade, selecionamos um episodio de ensino que pode ser entendido como açöes reveladoras do processo de formaçao (MOURA et. al., 2010). De tal modo, para melhor compreensao do fenômeno que ali se constituía, o episódio de ensino foi dividido em duas cenas, uma vez que somente uma cena nao seria suficiente para evidenciar o movimento de apropriaçâo formativa das licenciandas. Estas se compuseram, na visao de Moura et. al. (2010), em momentos nos quais os sujeitos confirmam indicativos de apropriaçâo do movimento formativo instituído.
Dessas cenas, destacaram-se os flashes que seriam "os indicios da transformaçao do pensamento do sueito" (autores, 2015, p. 61). Os flashes encontrados nas cenas nao seriam somente uma mera defmiçâo dos sinais, mas sim uma tentativa de encontrar na sua trama, nao somente a existencia, mas também a natureza do processo de significaçâo dos sujeitos envolvidos. Nesse movimento processual de expor o desenvolvimento e entendimento do fenómeno, estruturou-se a análise abaixo.
Nessa unidade de análise, buscamos o entendimento pelas professoras em formaçao de que o aceite da estrutura geral do sistema de numeraçao decimal, isto é, a sua generalizaçao, acarreta sua compreensao como caso particular de qualquer sistema numérico, conduzindo assim a possibilidade de açao arbitrária nesse e em qualquer sistema. "O critério de tomada de consciencia reside na possibilidade de passagem para qualquer outro sistema, pois isto significa generalizaçao do sistema decimal" (VIGOTSKI, 2000, p. 373).
Com o episódio selecionado, foram buscados indicativos de superaçao das condiçöes pré-existentes de entendimento para as operaçöes de adiçao e subtraçao, a partir do desenvolvimento de atividades de ensino de acordo com a proposta teórica. Tais atividades de ensino procuravam o ensino da operacionalizaçao do sistema de numeraçao, na especificidade dos conceitos de adiçao e subtraçao. Tais atividades foram previamente selecionadas para que representassem o movimento conceitual da operacionalizaçao do sistema de numeraçao. O intuito era desenvolver atividades que fugissem do padrao 'siga modelos', mas que procedessem com independencia e, ao mesmo tempo, interconexao capaz de revelar modelos genéricos. Portanto, de acordo com os principios dessa proposiçâo, o objetivo do ensino é desenvolver conceitos, e nao apenas o saber prático e imediato. Atividades de ensino desse norte podem "permitir superar o postulado do caráter imediato, típico das tendencias mecanicistas" (DAVIDOV, 1988, p. 16).
As duas cenas escolhidas para esse episódio possuem como particularidade comum o fato de representarem açöes coletivas que demonstram o caminho percorrido pelas professoras em formaçao. O intuito desvelado nesse processo é o entendimento de que nao seria possível apreender o conceito de adiçao e subtraçao sem a compreensao da lógica interna do sistema de numeraçao, pois o entendimento do funcionamento dos sistemas de numeraçao é basilar na apreensao dos algoritmos das operaçöes básicas. Na sequencia, contempla-se o desenrolar da primeira cena no Quadro 3.
Em consonância com as opçöes teóricas, é possível ratificar que o ensino do sistema de numeraçao decimal deve ser revelado a partir de diversos sistemas particulares, como o sistema ternário, quaternário ou quinário, dentre outros. Inicialmente, tal revelaçao deve ocorrer por meio de bases numéricas menores e de modo aleatório apresentar outras bases. Isso porque as bases menores possibilitam as devidas transformaçöes de forma mais simples durante a açao objetal. Dessa forma, a introduçao do sistema pode ser realizada a partir do elo que interrelaciona a lógica das diferentes bases numéricas, ou seja, a partir da formaçao das diferentes ordens de medidas, por meio dos agrupamentos. Observem os flashes que trazem os indicios dessa compreensao pelas professoras em formaçao: (Flash 9 - Lilás, Cena 1); (Flash 10 - Negra, Cena 1); (Flash 11 -Branca, Cena 1).
Estes flashes permitem entender a genese de um sistema de numeraçao, isto é, qual é a essencia desse sistema, as características que o compöe, já que os signos numéricos nao podem ser tomados soltos; é preciso que se estabeleça uma relaçao com os demais conceitos. "Nessa organizaçao o objetivo é que o indivíduo compreenda os conceitos essenciais de um sistema de numeraçao" (ROSA; MORAES; CEDRO, 2010, p. 152). Na mesma direçao o movimento de compreensao tem sua continuidade nos seguintes flashes: (Flash 7 - Vermelha, Cena 1); (Flash 8 - Verdinha, Cena 1) ;(Flash 9 - Lilás, Cena 1).
As características invariantes constituem o conteúdo do conceito, já os flashes nos indicam que o movimento proposto nesse momento do experimento formativo pretendia estabelecer o conteúdo do conceito de sistema de numeração. Ou seja, desejava-se indicar os indícios substanciais imagináveis no mesmo, constituindo assim uma operação lógica que transcendesse o que já estava posto acerca de tal conceito. Isso se chama definição e o intuito era justamente que as professoras em formação construíssem a definição do que seria e para que realmente serviria um sistema de numeração e não o sistema de numeração decimal vigente.
Para trilhar o caminho de criação de um conceito científico universal é necessário separar, abstrair dos atributos próprios, dos fenômenos singulares e deixar só as características comuns a toda uma classe de fenômenos. Nos flashes 7, 8 e 9 há a compreensão, por parte delas, de que neste procedimento de generalização o geral se contrapõe ao singular e aos vários fenômenos singulares. Tanto no geral, quanto no particular, separa-se e estuda-se cada um por si, por isso elas conheceram variados sistemas de numeração antes que fosse introduzido o sistema de numeração decimal. "Deste modo, semelhante divisão e estudo por separado das características é importante, é indispensável para diferenciar uns objetos de outros, as características particulares do geral" (ROSENTAL, 1962, p. 237).
Entretanto, a realidade vivenciada por elas no experimento formativo näo é o que comumente se presencia nas salas de aula das Séries Iniciais do Ensino Fundamental. Branca destaca sobremaneira essa questao em: (Flash 11 - Branca, Cena 1).
De acordo com Vigotski (2000, p. 373), a "criança aprende a atuar no plano do sistema decimal antes de tomar consciencia dele, porque ela nao domina o sistema, mas é tolhida por ele". O flash de Branca está em consonância com a discussao de que as crianças nas Séries Iniciais nao vivenciam essa forma de organizaçâo do ensino do sistema de numeraçâo vigente, mas ao contrário convivem com um movimento de ensino de conceitos matemáticos que consiste na passagem do sensorial ao abstrato, conforme confirma Amarela em: (Flash 12 - Amarela, Cena 1).
Amarela se refere as generalizaçöes empíricas nas quais os estudantes "seguem o esquema de baixo para cima e frequentemente nao garantem o movimento de cima para baixo, a passagem do geral para o particular" (DAVYDOV, 1982, p. 29). Esse processo de generalizaçao, característico do ensino tradicional, está relacionado a percepçao, representaçao e conceito. Assim, a generalizaçao empírica ocorre no plano da percepçao direta, das representaçöes em nível de conceitos empíricos.
Como se percebe no flash de Azulona, as professoras em formaçao procuram nao mais por uma organizaçao qualquer do ensino do sistema de numeraçao, querem uma Matemática que nao seja concebida como uma ciencia neutra, reduzida a um conjunto de técnicas, regras e algoritmos, em que o aluno deve realizar uma série de exercícios conforme o modelo sugerido. Espaço em que a enfase incide no fazer em detrimento de outros aspectos importantes, como compreender, refletir, analisar, justificar e provar: (Flash 18 - Azulona, Cena 1).
Essa busca tornou-se ainda mais intensa no desenrolar do experimento formativo e tendeu a se emoldurar mais efetivamente a medida que as licenciandas demonstraram apropriaçöes das relaçöes existentes entre a operacionalizaçao do sistema de numeraçao decimal e as operaçöes de adiçao e subtraçao.
No decorrer da próxima cena, percebem-se, por intermédio dos flashes, indicios dos momentos em que elas, diante da compreensao da interconexao da base numérica do sistema no processo de operacionalizaçâo das operaçöes de adiçao e subtraçao, vao se apropriando desses importantes conceitos numéricos comumente ensinados exclusivamente como uma sequencia de regras que devem ser memorizadas e repetidas mecanicamente ao longo da vida.
Durante o experimento formativo as licenciandas operacionalizaram o sistema de numeraçao na reta numérica e tiveram condiçöes teórico-práticas de concluírem que os sistemas de numeraçao podem ser compostos por várias bases numéricas e estas sao determinadas pela quantidade que compöe cada agrupamento representado nas retas numéricas a elas ofertadas, que ora possuíam dois, quatro, cinco ou dez unidades, sendo que cada novo agrupamento formava uma nova ordem (Figura 1).
Foram, entao, sendo criadas condiçöes para que as professoras em formaçao apreendessem a interconexao existente entre qualquer base numérica de um sistema de numeraçao qualquer e o processo de operacionalizaçao das operaçöes de adiçao e subtraçao (Figura 2).
Desta feita, no universal está implícita a riqueza do singular e do particular no sentido de que, "apreendendo as leis, ele está refletindo, nessa ou naquela medida, todos os casos particulares de manifestaçâo do singular" (KOPNIN, 1978, p. 108). Assim, sem compreender a dialética do universal e do singular nas categorias é impraticável a descoberta da genese e relaçâo desta com o conceito. Os flashes que corroboram a discussao aqui levantada sao: (Flash 14 - Verde, Cena 2); (Flash 15 - Pink, Cena 2).
No intuito de que as licenciandas entendessem a operacionalizaçâo do sistema de numeraçâo decimal e sua conexao com as especificidades das operaçöes de adiçâo e subtraçâo, optou-se por conduzi-las intencionalmente a procedimentos que tivessem como resultado o processo de mediçâo de grandezas discretas e\ou continuas representadas aritmeticamente, algebricamente ou geometricamente (Flash 7 - Roxa, Cena 2) e (Flash 16 - Azulona, Cena 2).
Nesse viés o universal novamente se faz presente "como essencia aparece na forma de lei" (DÁVIDOV, 1988, p. 147). As licenciandas dao sinais de compreenderem a existencia de uma unidade de nexos e relaçöes essenciais, expressas por meio do modelo da relaçâo geneticamente inicial de todo sistema. Está implícita nos flashes a ideia de universal como unidade interna dos traços, atributos e distinçöes singulares. O universal "determina o surgimento e o desenvolvimento de outros fenómenos particulares e singulares dentro de determinado todo" (DÁVIDOV, 1988, p. 144). Desse modo, a vinculaçâo entre essencia universal e sua demonstraçâo singular é mediatizada pela particularidade.
Ainda, no desenrolar da apresentaçâo das atividades de ensino que elas desenvolviam coletivamente e fazia parte do terceiro momento do experimento formativo, houve sinais de que partiriam do pressuposto que a unidade entre o lógico e o histórico e a conexao dialética entre o universal-singular determinam, juntamente com outros aspectos, o movimento conceitual que, na verdade, deveria ser desenvolvido nas aulas de Matemática das Séries Iniciais. Os flashes denunciam essa compreensao (Flash 22 - Branca, Cena 2) e (Flash 23 - Verdinha, Cena 2).
Reiteramos, assim, que a forma de organizaçao do ensino de Matemática para os Anos Iniciais aqui proposta contempla o desenvolvimento de sistemas numéricos vistos como sistemas conceituais inter-relacionados com sua fragmentaçao, vista aqui como as operaçöes de adiçao e subtraçao, para que, desse modo, os elementos sejam revelados, pelos alunos e nao para eles, desde os Anos Iniciais do Ensino Fundamental (ROSA; DAMAZIO; ALVES, 2013).
Assim sendo, o desenvolvimento dessas operaçöes, desde o primeiro ano escolar, deve contemplar a açao objetal, o modelo universal da relaçao parte-todo, a operacionalizaçao na reta numérica, mas nos limites do sistema de numeraçao decimal e, somente depois, chegar ao algoritmo. Esse caminho, confirmam os flashes (Flash 18 - Azul, Cena 2), (Flash 19 - Negra, Cena 2), (Flash 20 - Branca, Cena 2) e (Flash 21 - Marrom, Cena 2).
A superaçao de tais questöes evidenciadas nos últimos flashes exige que um dos caminhos é iniciar as ideias da adiçao e da subtraçao com quantidades razoavelmente pequenas, tendo como ponto de partida o experimento objetal referente as grandezas discretas e continuas (ROSA; DAMAZIO; ALVES, 2013), para que, dessa forma, o aluno tenha condiçöes teóricopráticas de enxergar relaçöes entre o sistema de numeraçao e as operaçöes que realiza. É possível perceber a continuidade de tais entendimentos nos flashes: (Flash 10 - Marrom, Cena 2), (Flash 11 - Verdinha, Cena 2), (Flash 9 - Lilás, Cena 2) e (Flash 17 - Roxa, Cena 2).
No decorrer da cena é visível que as atividades planejadas para que as licenciandas desenvolvessem em sala de forma compartilhada, eram atividades referentes a operacionalizaçao do sistema de numeraçao que nao mais contemplassem somente a açao objetal. Por conseguinte, "compreende a transformaçao em nova qualidade" (KOPNIN, 1978, p. 209). Em razao disso, a formaçao dos conceitos de adiçao e subtraçao ocorre a partir "da separaçao da relaçao fundamento e o estudo de suas propriedades a identificaçao das possíveis consequendas [...]" (DAVIDOV, 1988, p. 211).
Fica evidente que a cena se desenrola no objetivo de estabelecer que a relaçao fundamental das operaçöes da adiçao e subtraçao consiste no contínuo desenvolvimento da relaçao essencial do sistema de numeraçao. Nesse sentido, a relaçao parte-todo e a formaçao das diferentes ordens constituem a essencia do algoritmo das operaçöes aqui destacadas. Notemos como isso se destaca nos seguintes flashes: (Flash 1 - Roxa, Cena 2), (Flash 2 - Lilás, Cena 2), (Flash 3 - Marrom, Cena 2) e (Flash 4 - Cinza, Cena 2).
Ao propor que, nesse dia, as professoras em formaçao explicassem na lousa atividades que envolvessem a reta numérica, o entendimento que estava implícito era que a reta numérica representava o lugar geométrico dos infinitos números reais. Por conseguinte, a reta possibilita a inter-relaçao entre as operaçöes de adiçao e subtraçao na forma de acréscimo e decréscimo de unidades, por meio de deslocamentos para a direita e para a esquerda. Nesse caminho percebese que as ideias de adiçao e subtraçao vao se fazendo parte da constituiçao do próprio sistema de numeraçao para as professoras em formaçao.
4 Conclusôes
Acerca da formaçao de futuros professores que ensinam Matemática nos Anos Iniciais o presente artigo auxilia na tomada de consciencia da necessidade e possibilidade de repensar, a partir da relaçao essencial revelada no presente estudo, os conteúdos e métodos de ensino referentes as diversas operacionalizaçöes do sistema de numeraçao. Dessa forma, esse trabalho possibilita compreender que esses professores devem vivenciar, em seus processos formativos, atividades que evidenciem a essencia das operaçöes de adiçao e subtraçao, ou seja, precisam ve-las como constituídas por agrupamentos e reagrupamentos das ordens, determinadas pelo valor da base numérica e isso enriquece a lógica do sistema de numeraçao, justamente porque abarca seu desenvolvimento.
Tais questöes sinalizam que a apropriaçao da lógica interna das operaçöes de adiçao e subtraçao como premissa para a operacionalizaçao do sistema de numeraçao existe em movimento processual, revelando o entendimento de suas diferentes formas de desenvolvimento, assim como a manifestaçao da interface entre as operaçöes de adiçao e subtraçao e o sistema de numeraçao se materializando na circulaçao eminentemente contraditória de desenvolvimento do experimento formativo.
Assim, almejava-se que o experimento formativo as conduzisse ao entendimento conjunto e relativo do desenvolvimento dessa interconexao para que, a partir dela, houvesse condiçöes de descobrir a composiçao significativa da realidade com a qual se deparavam. Pelo experimento, foram oferecidas aos futuros professores condiçöes objetivas para que pudessem transformar-se em produtores da organizaçao do ensino de Matemática das Séries Iniciais do Ensino Fundamental e, dessa forma, poderiam extrair novas condiçöes de si próprias, tais como ampliarem seu conhecimento no desenvolvimento das atividades de ensino ofertadas a eles, criar novas representaçöes, novos modos de relaçöes, exigencias e outra linguagem teóricometodológica para o ensino de sistemas de numeraçao e as operaçöes de adiçao e subtraçao nessas Séries Iniciáis.
Diante dessas necessidades e da realidade sobre a formaçao de futuros professores que ensinam Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental no Brasil (ROSA, 2012), a novidade de nossa proposta está no fato de nao apenas ter se alicerçado na percepçao das características externas do objeto (as operaçöes de adiçao e subtraçao aqui compreendidas como objeto), de nao somente se preocupar em atingir o objeto em sua dimensao empírica (HOBOLD, 2014).
Entretanto, trouxemos de original um processo formativo para esses professores a fim de lhes possibilitar que inculcassem generalizaçöes e conceitos teóricos, e nao apenas empíricos acerca das citadas operaçöes e suas interdependencias com o sistema de numeraçao (DAVYDOV, 1982). A inovaçao no que se apresentou está baseada como uma sugestao de superaçao do modo de organizaçao do ensino das operaçöes de adiçao e subtraçao com vistas ao desenvolvimento do pensamento teórico (DAVIDOV, 1988) com professoras que ensinarao Matemática nas Séries Iniciais.
Tal novidade aqui se materializou na realizaçao de atividades intencionalmente preparadas para esse determinado fim, para que assim desenvolvessem, nos sujeitos, capacidades distintas das efetuadas pela sua inserçao nas experiencias formativas que já temos postas para essas professoras (ROSA; DAMÁZIO; ALVES, 2013). Portanto, acreditamos que a proposiçao formativa pode contribuir para a formaçao de futuros professores que ensinam Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental no Brasil.
O objetivo primordial foi compreender como ocorreu a aprendizagem das operaçöes de adiçao e subtraçao, a partir da inclusao da estrutura interna do sistema de numeraçao por intermédio de atividades de ensino desenvolvidas por um grupo de licenciandas em Pedagogia, de uma Instituiçao de Ensino Superior pública, do Estado de Goiás.
De acordo com as proposiçöes teóricas adotadas, foi possível apreender que parte das licenciandas se apropriou da ideia de que o sistema de numeraçao é desenvolvido a partir da lógica interna das diferentes bases numéricas e de que o sistema decimal é uma particularidade dos sistemas de numeraçao. Tal entendimento teórico acerca do sistema decimal acarreta na sua compreensao como caso particular de qualquer sistema numérico. Esse critério de assunçao reside na "possibilidade de passagem para qualquer outro sistema, pois isto significa generalizaçao do sistema decimal, formaçao de um conceito geral sobre os sistemas de cálculo" (VIGOTSKI, 2000, p. 373).
Assim, os flashes analisados e o registro dos esquemas dos números e operaçöes na reta feitos pelas professoras em formaçao (Figuras 1 e 2) ressaltam os elementos de compreensao atingidos por elas em relaçâo aos conceitos matemáticos trabalhados. Sao dessa forma, o concreto ponto de chegada das atividades referentes ao sistema de numeraçâo. Deste modo, os esquemas das ordens - e suas mudanças - e a reta, consistem no ponto de chegada do entendimento do sistema de numeraçâo, assim como o ponto de partida para as operaçöes de adiçâo e subtraçâo.
No caminho de ascensao sao determinadas as transformaçöes dos conceitos, ou seja, os conceitos abstratos se tornam concretos e os concretos se transformam em abstratos. O conceito de adiçâo e subtraçâo formado no curso da reproduçâo do sistema de numeraçâo é concreto em relaçâo ao anterior. Dessa forma, conforme o pensamento vai prosseguindo estabelece conceitos ainda mais concretos, em que o antecedente se transforma em conceito abstrato em relaçâo ao novo, mais concreto. Portanto, se "o concreto é a unidade de múltiplos fenómenos, é natural que, ao conhecer a multiplicidade das propriedades das coisas, os próprios conceitos relacionados a eles se tornarao mais concretos" (ROSENTAL, 1962, p. 326).
Diante dessa perspectiva teórica há que se destacar indicios de apropriaçâo da aprendizagem por parte das professoras em formaçâo da relaçâo essencial do sistema de numeraçâo, a formaçâo de suas ordens e a genese das operaçöes de adiçâo e subtraçâo, ou seja, sua ordem interna correlata com as citadas operaçöes e a relevancia de açöes desse norte para a formaçâo de professores para os Anos Iniciais de maneira que evitem o ensino escolar tradicional. Nessa fuga buscamos organizar o processo formativo tal como sucedeu no desenvolvimento histórico do conhecimento, que vai se "aprofundando no processo que parte do fenómeno, dos aspectos externos que saltam aos olhos, para a essencia, os nexos e relaçöes internas das coisas" (ROSENTAL, 1960, p. 355). Afinal, o conceito nâo pode ser apresentado pronto aos sujeitos, mas em desenvolvimento, em um processo que conduza a diversidade das manifestaçöes e a revelaçâo das interconexöes na relaçâo do singular com o universal como algo concreto (DAVYDOV, 1982).
1 Säo situaçöes-problema colocadas por personagens que envolvem a criança no ato de produzir a soluçâo do problema que faz parte do contexto da história (MOURA et al, 2010).
2 O 'Sistema de Numeraçao Chacaloni' faz parte da história virtual contada a elas e foi a situaçâo desencadeadora de aprendizagem que as conduziu a apropriaçâo dos nexos internos de um sistema de numeraçâo. Tal história virtual possui como título 'O Desafio de Tigal' (autores, 2017).
3 Cada professora em formaçâo adotou como codinome uma cor. A pesquisadora optou por usar as letras (MM).
Referencias
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Submetido em 04 de Abril de 2018.
Aprovado em 12 de Dezembro de 2018.
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Abstract
O artigo discute parte dos dados de uma investigaçâo realizada com professoras dos Anos Iniciáis em formaçâo. Dentre os objetivos formativos que possuíamos, destacamos que a finalidade deste é compreender como ocorreu a aprendizagem das operaçöes de adiçâo e subtraçâo a partir da compreensäo da estrutura interna do sistema de numeraçâo, sendo por intermédio de atividades de ensino desenvolvidas com as quatorze licenciandas matriculadas na disciplina "Conteúdos e processos de ensino de Matemática", do 4° período da licenciatura em Pedagogia da Universidade Estadual de Goiás - Campus Quirinópolis. Na busca por respostas de como aconteceu essa aprendizagem, foi organizado um experimento formativo, posto aqui como caminho metodológico da pesquisa. Nesse viés o experimento buscava criar situaçöes para que a aprendizagem dessas operaçöes se materializasse. O método de investigaçâo escolhido foi o materialismo histórico dialético. Concernente a tais escolhas, a estrutura de análise é composta de unidade, episódio, cenas e flashes. Os resultados dâo indícios de que as licenciandas compreenderam que os sistemas de numeraçâo possuem uma lógica interna válida para todas as bases numéricas que os compöem e, a partir dessa conexâo interna do sistema de numeraçâo, é possível realizar as operaçöes de adiçâo e subtraçâo como parte dessa operacionalizaçâo interna do sistema. Concluímos que as licenciandas se apropriaram da relaçâo essencial dos sistemas de numeraçâo, a formaçâo de suas ordens e a genese das operaçöes de adiçâo e subtraçâo.