Generalization of the pedal concept in bidimensional spaces. Application to the limaçon of Pascal

Abstract

The concept of a pedal curve is used in geometry as a generation method for a multitude of curves. The definition of a pedal curve is linked to the concept of minimal distance. However, an interesting distinction can be made for ℝ2. In this space, the pedal curve of another curve C is defined as the locus of the foot of the perpendicular from the pedal point P to the tangent to the curve. This allows the generalization of the definition of the pedal curve for any given angle that is not 90º. In this paper, we use the generalization of the pedal curve to describe a different method to generate a limaçon of Pascal, which can be seen as a singular case of the locus generation method and is not well described in the literature. Some additional properties that can be deduced from these definitions are also described.

Alternate abstract:

El concepto de curva podal está extendido en la geometría como un método generativo para multitud de curvas. La definición de curva podal está ligada al concepto de mínima distancia. Sin embargo, es posible hacer una interesante distinción en el espacios ℝ2. En este caso, la curva podal de otra curva C se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares desde un punto P a las tangentes a la curva. Esto permite generalizar la definición de curva podal a cualquier ángulo que no sea 90º. En este artículo utilizamos la generalización de curva podal para describir un método diferente de generación de la Limaçon de Pascal, que puede relacionarse como un caso particular del método de generación por lugares geométricos y que no se encuentra bien descrito en la literatura. También se describen algunas propiedades que pueden deducirse de estas definiciones.